N 2.Сызықтық операторларды қосу

Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заң дылық анық тайық:

( + ) (х) = (х) + (х), х V (4)

Осы анық талғ ан + заң дылығ ы мен сызық тық операторларының қ осындысы деп аталады.

Лемма. + қ осындысы сызық тық оператор болады.

Дә лелдеу. х V ү шін (х) жә не (х) векторлары бірмә нді анық талғ ан, себебі , – сызық тық операторлар. Векторлық кең істікте + БАО болғ андық тан, (х) + (х) векторы да бірмә нді анық талады. Онда + заң дылығ ы бейнелеу (оператор) болады. Сызық тық болатынын кө рсетейік.

( + )( х+ у) (4) = ( х+ у) + ( х + у) (, с.оп.)= (х)+ (у)+ (х)+ (у)= =|в.к.акс. | = ( (х)+ (х)) + ( (у)+ (у)) = |(4) бой. |= ( + )(х)+ ( + )(у).

Онда + L(V ).

Анық тама. Берілген жә не сызық тық операторларына + сызық тық операторын сә йкестікке қ оятын амалды сызық тық операторларды қ осу амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында + БАО-сы анық талды.

Қ осынды + сызық тық оператордың матрицасын анық тайық. V кең істігі- нің қ андай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызық тық операторының матрицасы А , сызық тық операторының матрицасы А болсын. Қ осынды

+ сызық тық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік

Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағ ынан, (4) бойынша

||

= + = А + А = =|матрицаларды кө бейту қ осуғ а қ атысты дистрибутивті болғ андық тан| =

=(А + А ) ; бұ дан, вектордың базис арқ ылы жіктелуінің бірмә нділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің тең дігі шығ ады: А = А + А . (*)

(Соң ғ ы тең дікті ө зің із сө збен оқ ың ыз).

L(V ) жиынында анық талғ ан + БАО-ның тө мендегідей қ асиеттері бар:

1 . , L(V ) + = +

2 . , , L(V ) ( + )+ = +( + )

3 . L(V ) + =

4 . L(V ) (– ) L(V ) +(– ) = .

Бұ л қ асиеттерді ө здерің із дә лелдең із. Нұ сқ ау. 4 қ асиетте алдымен (– ) заң дылығ ын анық тап алу керек, сонан кейін оның сызық тық екенін кө рсету керек, соң ында -ге қ арама-қ арсы болатынын дә лелдеу керек.

Анық талғ ан (4) амалдың қ асиеттерінен L(V ) жиыны абельдік группа болатыны шығ ады: L(V ), + – абельдік группа.

n 3.Сызық тық операторды скалярғ а кө бейту

Айталық, L(V ), F болсын. Мынадай заң дылық анық тайық:

( )(х) = (х), х V (5)

Осы анық талғ ан заң дылығ ы сызық тық операторының скалярына кө бейтіндісі деп аталады.

Лемма. (5) формуламен анық талғ ан заң дылығ ы сызық тық оператор болады.

Дә лелдеу. сызық тық оператор болғ андық тан х V ү шін (х) векторы бірмә нді анық талғ ан. Векторлық кең істіктегі скалярғ а кө бейту амалының берілуінен (х) векторы да бірмә нді анық талатыны шығ ады. Онда заң дылығ ы бейнелеу (оператор) болады. Сызық тық болатынын кө рсетейік.

( )( х+ у) =(5) ( х+ у) =( с.о) ( (х) + (у)) (в.к.акс.)= (х) + (у) = = |в.к.акс.| = ( (х)) + ( (у)) = |(5) бой.| = ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анық тама. Берілген сызық тық операторына сызық тық операторын сә йкестікке қ оятын амалды сызық тық операторды скалярғ а кө бейту амалы деп атайды.

Ескерту. Анық талғ ан скалярғ а кө бейту амалы L(V ) жиынында сыртқ ы амал болады.

Осы сызық тық операторының матрицасын анық тайық. V кең істігінің қ андай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызық тық операторының матрицасы А болсын. Анық талғ ан сызық тық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.

Онда (2¢) бойынша = А ; екінші жағ ынан, (5) бойынша

||

= = А ; бұ дан, вектордың базис арқ ылы жіктелуінің бірмә нділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің тең дігі шығ ады: А = А . (Тең дікті сө збен оқ ың ыз).

L(V ) жиынында анық талғ ан скалярғ а кө бейту – сыртқ ы амалының мынадай қ асиеттері бар:

1 . L(V ) F ( =

2 . L(V ) F ( =

3 . , L(V ) F ( + ) = +

4 . L(V ) 1 · = , мұ ндағ ы 1 – F ө рісінің бірі.

(Қ асиеттердің дә лелдеуі ө збетімен).

(4), (5) амалдардың анық тамасы мен олардың қ асиеттерінен L(V ) жиынының ө зі F ө рісінде берілген векторлық кең істік қ ұ райтыны шығ ады:

L(V ), +, F – векторлық кең істік.

Сонда, ө рісте берілген векторлық кең істіктегі сызық тық операторлар жиыны, ө зі, сол ө рісте берілген векторлық кең істік қ ұ райды.

n 4. Сызық тық операторларды кө бейту

Айталық, , L(V ) болсын. Мынадай заң дылық анық тайық:

( ) (х) = ( (х)), х V (6)

Осы анық талғ ан заң дылығ ы мен сызық тық операторларының кө бейтіндісі деп аталады.

Лемма. кө бейтіндісі сызық тық оператор болады.

Дә лелдеу. сызық тық оператор болғ андық тан, х V ү шін (х) векторы бірмә нді анық талғ ан, ал де сызық тық оператор болғ андық тан ( (х)) векторы бірмә нді анық талғ ан. Онда заң дылығ ы бейнелеу (оператор) болады. Оның сызық тық болатынын тексерейік.

( )( х+ у) (6)= ( ( х+ у)) ( с.оп.) = ( (х)+ (у)) ( с.оп) = ( (х))+ ( (у)) (6) =

= ( )(х) + ( )(у).

Онда L(V ).

Анық тама. Берілген жә не сызық тық операторларына сызық тық операторын сә йкестікке қ оятын амалды сызық тық операторларды кө бейту амалы деп атайды.

Сонымен, L(V ) жиынында · БАО-сы анық талды.

Кө бейтінді сызық тық оператордың матрицасын анық тайық. V кең іс- тігінің қ андай да бір е , е ,..., е базисіндегі сызық тық операторының матрицасы А , сызық тық операторының матрицасы А болсын. Кө бейтінді сызық тық операторының осы базистегі матрицасын А деп белгілейік.

Онда (2¢) бойынша = А · ; екінші жағ ынан, (6) бойынша

||

= () = (А ) = | с.оп.|= А () =

= А = А А ; бұ дан, вектордың базис арқ ылы жіктелуінің бірмә н- ділігінен, екі жіктелудің коэффициенттерінің тең дігі шығ ады:

А = А ·А . (**)

Соң ғ ы тең дікті сө збен оқ ың ыз.

L(V ) жиынында анық талғ ан · БАО-ның тө мендегідей қ асиеттері бар:

1 . , , L(V ) ( ) = ( )

2 . , , L(V ) ( + ) = + & ( + ) = +

3 . L(V ) = =

Бұ л қ асиеттерді ө здерің із дә лелдең із.

Анық талғ ан (4), (6) амалдар мен олардың қ асиеттерінен L(V ) жиыны бірі бар сақ ина болатыны шығ ады: L(V ), +, – бірі бар сақ ина.

Сонда, ө рісте берілген векторлық кең істіктегі сызық тық операторлар жиыны сақ ина қ ұ райды. Оны сызық тық операторлар сақ инасы дейді.

Жоғ арыда, §5-те біз, n ө лшемді векторлық кең істіктегі сызық тық операторлар мен n– ші ретті квадрат матрицалар арасында ө зара бірмағ ыналы сә йкестік (биекция) болатынын кө рдік. Ал осы §8-гі n 2, n 4 – дің нә тижесінен бұ л сә йкестіктің аддитивті жә не мультипликативті болатыны шық ты ((*), (**) формулаларын қ ара). Онда, сызық тық операторлар сақ инасы мен квадрат матрицалар сақ инасы изоморфты болғ аны:

L(V ), +, М (F), +, .