Завдання № 10.

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання.

Знайдемо при умові, що , а, як слід, і її похідна .

.

( як винесли за знак похідної).

Знайдемо , враховуючи, що , а, як слід, і похідна , тоді

.

Приклад 1. Дана функція . Знайти всі її частинні похідні 2-го порядку і переконатися, що .

Розв’язання.

; ;

;

;

;

.

З останніх рівностей бачимо, що .

Завдання № 11. Знайти екстремум функції .

Розв’язання.

Знаходимо стаціонарні точки.

Рішення останньої системи дає 4 стаціонарні точки:

.

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

Досліджуємо кожну стаціонарну точку.

1) у точці Так як і , то у цієї точці функція має мінімум.

2) у точці Так як і , то у цієї точці функція має максимум.

3) у точці Так як , то у цієї точці функція екстремума не має.

4) у точці Так як , то у цієї точці функція екстремума не має.

Рекомендована література

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Высш. шк., 1999.– 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.