Приклади. а) послідовно застосовуючи правило диференціювання складної функції, правила та формули диференціювання

а) ; б) ; в) ;

г) .

Розв’язання.

а) послідовно застосовуючи правило диференціювання складної функції, правила та формули диференціювання, маємо:

б)

в) у даному випадку функціональна залежність задана у неявному вигляді. Для знаходження похідної треба продиференціювати по змінній х обидві части рівняння, вважаючи при цьому у функцією від х, а потім отримане рівняння вирішити відносно :

З останнього рівняння знаходимо :

г)

.

Завдання № 9. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Розв’язання.

1) Область визначення функції f:

Х= .

2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0; 1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

;

х =0–критична точка.

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х =0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення:

.

6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х =2, х =-2:

, .

Отже, в точці х =2 функція має розрив другого роду, а пряма х =2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х =-2 також є вертикальною асимптотою.

.