Завдання № 3.

Приклад. Дано координати трьох векторів: і вектор :

, .

Потрібно:

1) обчислити модуль вектора ;

2) знайти координати вектора ;

3) знайти кут φ між векторами и ;

4) обчислити проекцію вектора на напрямок вектора ;

5) обчислити площу трикутника, побудованого на векторах і ;

6) обчислити об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах .

Розв’язання.

1) Знайдемо модуль вектора :

.

2) Знайдемо координати вектора :

тоді

3) Знайдемо косинус кута між векторами и :

.

Для цього обчислимо скалярний добуток и за формулою: = –2∙ 0 + 2∙ (–3) + (–1)∙ 4 = –10, потім модуль вектора : , тоді і

4) Проекцію вектора на напрямок вектора обчислимо за формулою:

5) Знайдемо площу трикутника, побудованого на векторах і . Для цього спочатку знаходимо векторний добуток цих векторів:

Отже, площа трикутника, побудованого на векторах і :

(кв.од.).

6) Для обчислення об'єму паралелепіпеду, побудованого на векторах знаходимо мішаний добуток цих векторів:

тоді об'єм паралелепіпеду: .

Відповіді:

1) модуль вектора :

2) координати вектора :

3) кут між векторами и :

4) проекція вектора на напрямок вектора :

5) площа трикутника, побудованого на векторах і : (кв.од.);

6) об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах: (куб.од.).