Приклад 1.

Дана система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь с трьома невідомими:

Потрібно:

а) знайти рішення системи за допомогою формул Крамера;

б) розв’язати систему за допомогою оберненої матриці.

а)при розв’язанні систем n лінійних рівнянь з n невідомими

;

;

…

можна застосовувати формули Крамера , де - визначник системи з коефіцієнтів при невідомих , а - визначник, який отримується з заміною елементів j –го стовпця елементами стовпця вільних членів стосовно.

Розв’яжемо систему за допомогою формул Крамера. Для цього складемо головний визначник системи з коефіцієнтів при невідомих у лівих частинах рівнянь та три допоміжних визначника:

Обчислимо ці визначники:

Так як ∆ ≠ 0, то дана система має єдине рішення.

Знайдемо рішення системи по формулам Крамера:

б) Запишемо систему у матричному вигляді:

, або AX = B, де

(у другому рівнянні системи відсутня невідома х ₃, тому а ₂₃ = 0).

Розв’яжемо систему за допомогою оберненої матриці.

1. Визначник тоді обернена матриця існує.

2. Щоб знайти союзну матрицю А ^* до матриці А, необхідно обчислити алгебраїчні доповнення всіх її елементів:

Тоді союзна матриця:

3. Знайдемо обернену матрицю:

4. Отримаємо рішення системи за допомогою оберненої матриці (правило «строка на стовпець»):

.

Рішення, яке отримано матричним способом, співпадає с тим, яке отримано по формулам Крамера, що підтверджує правильність цього рішення.

Відповідь:

а) рішення системи по формулам Крамера: ;

б) рішення системи за допомогою оберненої матриці: .