Оценка потока постнумерандо и пренумерандо с неравными поступлениями.

Денежный поток представляет собой последовательность поступлений денежных средств и моментов времени, в которые они осуществлены.

По моменту поступления денежных средств в выбранном временном интервале выделяют:

а) денежные потоки с поступлениями денежных средств в начале интервала (пренумерандо);

б) денежные потоки с поступлениями денежных средств в конце интервала (постнумерандо).

Оценка этих денежных потоков выполняется в рамках решения двух задач:

а) прямой - проводится оценка с позиции будущего (ре­ализуется схема наращения);

б) обратной - проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

На практике большее распространение получил поток постнумерандо. Он лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Прямая задача при оценке потока постнумерандо предполагает его расчет с позиции будущего, то есть на конец периода n, когда реализуется схема наращения.

Простое суммирование элементов потока невозможно, поскольку они находятся в разных временных интервалах, что обуславливает их не сопоставимость из-за временной ценности денег, которая устраняется по схеме наращения сложных процентов.

Механизм оценки денежного потока постнумерандо по прямой задаче

Денежный поток с неравными поступлениями постнумерандо имеет следующий вид: _n

FV_pst = ∑ PV_k * (1 + i)^n-k

^k=1

где k = 1, 2, 3,..., n – это совокупность периодических денежных поступлений.

Обратная задача потока постнумерандо подразумевает оценку денежного потока с позиции текущего момента, то есть на начало периода 1.

Финансовая операция подразделяется на n-базисных периодов, к концу каждого из которых привязан очередной платеж. В этом случае реализуется схема дисконтирования, а все элементы сводятся к началу финансовой операции – в точку 0, то есть к делению на множитель (1+i) в соответствующей степени. После приведения всех элементов финансового потока в нулевую точку их можно просуммировать, тогда формула для исчисления дисконтированной стоимости потока постнумерандо имеет следующий вид:

Денежный поток пренумерандо связан с поступлениями денежных средств в начале интервала, имеет огромное значение при анализе схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования и рассчитывается на основе денежного потока постнумерандо.

Для прямой задачисхема наращения – определение будущей стоимости исходного денежного потока выглядит следующим образом.

Схема наращения для денежного потока пренумерандо

_n

FV_pre = ∑ PV_k * (1 + i)^n-k+1

^k=1

Для обратной задачисхема дисконтирования, то есть приведения всех элементов исходного потока в точку 0, может быть представлена так:

Механизм обратной задачи для оценки денежного потока пренумерандо

8. Оценка срочных и бессрочных аннуитетов.

Аннуитет или финансовая рента – это частный случай денежного потока с равными интервалами и равными поступлениями. Если число равных временных интервалов ограниченно, то аннуитет является срочным, в противном случае – аннуитет бессрочный.

По методу поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо. В отношении срочных аннуитетов имеют место прямые и обратные задачи.

Оценка аннуитета постнумерандо Прямая задача выполняется по схеме наращения, при этом будущая стоимость данного денежного потока представляет собой:

Обратная задача оценки срочного аннуитета постнумерандо состоит в дисконтировании его стоимости, то есть приведении потока к началу финансовой операции. Математически дисконтированная стоимость данного аннуитета выражается следующей формулой:

Оценка аннуитета пренумерандо.

Прямая задача оценки данных денежных потоков выявляет сумму наращенных элементов потока по схеме сложных процентов

Что следует из взаимосвязи денежных потоков постнумерандо и пренумерандо.

Обратная задача оценки выявляет сумму приведенных к началу финансовой операции элементов потока. Математически эта задача выражается следующей формулой:

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются довольно длительное время. Математически это означает что n→ ∞. Характерным примером бессрочного аннуитета является консоли (консолидированная рента) – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым проводятся регулярные процентные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. Часто к бессрочным аннуитетам относятся досрочные государственные облигации со сроком погашения более 30 лет.

Бессрочный аннуитет часто называют вечной рентой. Бессрочный аннуитет можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, оценка бессрочного аннуитета способом наращения (прямая задача) не имеет смысла, так как поток стремиться к бесконечности и нельзя точно определить n.

Поэтому единственным способом оценки данного аннуитета является обратная задача – дисконтирование. При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью – пренумерандо.

Таким образом, дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо находится по формуле:

PV^a∞ _pst=A: i

где А – это одно денежное поступление за выбранный временной интервал.

Формула оценки бессрочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

Дисконтированную стоимость данного аннуитета пренумерандо можно рассчитать и так:

где А - величина первого платежа.