Метод сеток

2.1.1. Методические указания

Метод сеток применяется для решения задачи Дирихле уравнения Лапласа

. (1.1)

В данной работе решение определяется в квадрате ABCD с вершинами A(0, 0), B(0, 1), C(1, 0), D(1, 1) при шаге h=0, 1. Граничные условия задаются функциями, приведенными в табл. 2.1.

Область решения покрывается сеткой с заданным шагом h:

; , (i, j=0, 1, 2…n)

b₁ вычисляются решения на граничном контуре Г по заданной в таблице функции.

Уравнение Лапласа (1.1) заменяется конечно-разностным путем замены производных конечными разностями

, (1.2)

т.е. U_ij определяется как среднее значение четырех соседних точек. Составляется подобное уравнение для каждой внутренней точки.

Полученную систему алгебраических уравнений решают методом Зейделя или методом Гаусса.

2.1.2. Порядок выполнения работы

1. Составьте программу для получения системы конечно-разностных уравнений в соответствии с вариантом задания. В программе должны быть вычислены также функции на границе Г, получено решение методом Гаусса. Исходные данные в табл. 2.1.

2. Отладьте программу и проведите расчет таблицы решений с точностью . Погрешность приближенного решения обеспечивается просчетом с шагом h и шагом h /2 и применением правила Рунге

. (1.3)

3. Ответьте на вопросы:

1. Из каких составляющих состоит погрешность решения?

2. Как оценить погрешность?

3. Какие шаблоны применялись в работе данного метода?