Метод уточнения решения

Решение получается с помощью example.

……………………………

Решение полученные прямым методом содержат погрешности. В ряде случаев, особенно если объем системы велик эти погрешности могут быть значительными, рассмотрим итерационный процесс позволяющий уточнить решение на следующем итерационном шаге.

Пусть решается система

……………………………..

Пусть на k-ом итерационном шаге получено решение в виде ((x₁)^k, (x₂)^k, …, (x_n)^k)

Подставим полученное решение в левые части уравнений системы, результат вычислений этих уравнений обозначим (b₁)^k, (b₂)^k, …, (b_n)^k:

a₁₁ (x₁)^k+a₁₂ (x₂)^k+a₁₃ (x₃)^k+…+a_1n (x_n)^k=(b₁)^k

a₂₁(x₁)^k +a₂₂(x₂)^k +a₂₃(x₃)^k +…+a_2n(x_n)^k =(b₂)^k

a₃₁(x₁)^k +a₃₂(x₂)^k +a₃₃(x₃)^k +…+a_3n(x_n)^k =(b₃)^k

……………………………………………….

a_n1(x₁)^k +a_n2(x₂)^k +a_n3(x₃)^k +…+a_nn(x_n)^k =(b_n)^k

Вычтем из каждого уравнения первой системы соответствующее уравнений второй системы:

……………………………

– это не вязка для уравнения с соответствующим номером.

Получается система (x₁)^k+1 = (x₁)^k + e₁ Это соотношение уточняющее решение.

(x_i)^k+1 = (x_i)^k + e_i

Преимуществом этого метода является то, что на каждом итерационном шаге решается система с одной и той же матрицей.

Метод №17

Метод Гаусса-Зейделя

Этот метод является одним из самых распространенных итерационных методов. Это связано с простотой метода. Перепишем уравнение системы, выразим х₁ из первого уравнения, х₂ из второго, из третьего – х₃ и так далее. Получится система, которая имеет вид:

Для этого чтобы избежать проблем предварительно прежде записи системы необходимо производить перестановку таким образом, чтобы диагональные элементы не были равными нулю.

(х₁)⁰, (х₂)⁰, …, (х_n)⁰ и на первом итерационном шаге с помощью первого уравнения находим (х₁₁)^\ = (b₁-a₁₂ (x₂)⁰-…-a_1n (x_n)⁰) / a_11, (x₂)^\ = (b₂-a₂₁ (x₁)^\ -…-a_2n (x_n)⁰) / a₁₁, ….

(x₁)^\, (x₂)^\, …, (x_n)^\_, потом получаем второй итерационный шаг. Для сходимости итерационного процесса достаточно чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше суммы всех недиагональных элементов.

Тема5:

Решение систем нелинейных уравнений

Метод18

Простой итеррации

Пусть требуется найти решение системы из n уравнений с t неизвестными.

…………………..

В общем случае прямых решений систем нелинейных уравнений нет.

Метод простой итерации. Преобразуем исходную систему.

…………………..

Это можно сделать всегда, причем различными способами.

Задается начальное приближение. (x₁)⁰, …, (x_n)⁰. Из первого уравнения находим

(x₁)^\ =f₁((x₁)⁰, (x₂)⁰, …, (x_n)⁰)

Из второго уравнения находим:

х₂=f₂((x₁)², (x₂)⁰, …, (x_n)⁰)

При использовании метода простой итерации успех во многом зависит от удачного выбора приближения, чем больше вероятность того, что метод будет расходиться. Для системы существует область сходимости, если начальное приближение попадает в эту область, то итерационный процесс будет сходиться. Чем больше число неизвестных, тем меньше число сходимости.

Метод 19

Метод Ньютона

Этот метод обладает гораздо более высокой сходимостью, и главное обладает большей областью сходимости, чем метод простых итераций.

В основе метода лежит представление всех уравнений системы в виде ряда Тейлора с отброшенными членами, содержащие вторые и более высоких порядков производные.

…………………..

Представим решение на k-ом итерационном шаге в виде x_i = (x_i)^k + dx_i

Нахождение небольших поправок dx_i к решению, для этого подставим значение в уравнение системы.

В результате получается система уравнений:

……………………………………..

В этой системе все производные и все правые части вычисляются при уже найденных значениях.

Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных, после того как решение системы найдено, решаем ее методом Гаусса, получаем решение на k+1 итерационном шаге: (x_i)^r+1 = (x_i)^k + dx_i .

Метод 20

Метод возмущения параметров

Наряду с системой, решение которой необходимо найти, рассмотрим систему из такого же числа уравнений, решение которого известно.

…………………..

……………………

Деформируя (возмущая) уравнения системы с известным решением с помощью конечного числа N малых приращений преобразуем их к первой системе, решение которой необходимо найти. Возмущения можно производить различными способами. Например, на k-ом шаге деформации, деформируемую систему можно записать в виде (G_i)^k = G_k + (F_i - G_i)*k/N, i-номер уравнения. Если число шагов деформации N достаточно велико, то деформация системы на каждом шаге будет незначительной.

Решение системы можно использовать как начальное приближение неизвестных для итерационного решения полученного при первой деформации системы. Так как эта система при больших N мало отличается от предыдущей, то вероятно, что сходимость для деформируемой системы будет обеспечена. После этого производится вторая деформация и используя решение полученной для первой деформации в качестве начального приближения. Найдем корень системы после второй деформации, в конце счета, когда номер деформации k станет равной N решаемая система становится эквивалентно исходной. Применение этого метода может привести к значительному объему увеличений, однако при этом возрастают шансы сходимости метода.

Тема 6:

Численное интегрирование

Метод 21

Метод определенного интеграла

где,

Часто возникает задача численного интегрирования, например в таких случаях когда:

1) аналитически, через элементарные функции интеграл не берётся;

2) численное интегрирование необходимо использовать, если подинтегральная функция задана в табличном виде.

При численном интегрировании используется определение интеграла и его геометрического смысла. Приближенное значение интеграла мы получим, если в интегральной сумме ограничимся конечным числом слагаемых.

Метод 22

Метод трапеции

В методе трапеции интеграл приближенно заменяется на сумму площадей трапеций образующихся после замены графика функций y=f(x) ломанной соединяющей точками y=f(x) (x_i-1, y_i-1)-(x_i, y_i).

Площадь трапеции с номером (i) равняется:

∆ x_i=h_i-шаг интегрирования.

Для практического использования важен случай интегрирования с постоянным шагом hi=h=const, в этом случае: =

Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения h, с уменьшением h точность возрастает, точность вычисления интеграла по методу прямоугольников и трапеций имеет порядок h²

Метод 23

Метод Симпсона

В этом методе подъинтегральная функция аппроксимируется квадратичной зависимостью вида:

φ _i(x_i)= a_ix² + b_ix + c.

Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования [a, b] разбиваем на четное число 2n частных отрезков с одинаковым шагом

В качестве аппроксимирующей функции берем полином Лагранжа, проходящий через три точки: (x_i-1, y_i-1), (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1), проходит ветвь параболы. Можно показать, что интеграл равен:

S=

В результате симулирования для интеграла получается приближенное выражение: