Выводы по теме. 1. При программировании решения дифференциальных уравнений чаще используется программирование не точного

1. При программировании решения дифференциальных уравнений чаще используется программирование не точного, а приближенного решения данного уравнения. Наиболее распространенные способы таких приближенных решений основываются на теории разностных схем, с основными понятиями которой Вы познакомились в данной теме.

2. Пусть дан отрезок [a, b]. Равномерной сеткой на этом отрезке назовем множество узлов w_h такое, что x_j = a+ih, i=0, …, n, h = (b-a)/n.

3. Сеточной функцией y = y_j = y(x_j) называется функция, заданная в узлах сетки.

4. Пусть дано дифференциальное уравнение

Обозначим:

Назовем такой объект дифференциальным оператором.

5. 5Заменим L(u) в узле сетки x_i линейной комбинацией значений сеточной функции y_i на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая замена L(u) на L_h(y_h) называется аппроксимацией на сетке дифференциального оператора L разностным оператором L_h.

Таким образом, дифференциальное уравнение можно аппроксимировать (заменить) на сетке разностной схемой L_h(y_h) = j(x_h, y_h).

6. При этом следует понимать, что как и любое другое приближенное решение, решение при помощи разностных схем имеет свою погрешность.

7. Погрешностью аппроксимации дифференциального оператора L(y) разностным оператором L_h назовем величину y₁ = (Lu)_h-L_hu_h, где (Lu)_h – проекция на сетку результата действия дифференциального оператора L на функцию u.

8. Говорят, что погрешность аппроксимации дифференциального оператора имеет в узле x_i порядок k, если y₁(x_i) = O(h^k) → 0 при h → 0.

9. Погрешностью аппроксимации разностной схемы на решении в узле x_i (локальной погрешностью) назовем величину y, равную y = y₁-y₂ = (Lu)_h-L_hu_h-(f_h-j_h) = j_h-L_hu_h. Здесь использовано, что Lu = f.

10. Значения локальной погрешности аппроксимации в каждом узле x_i образуют сеточную функцию погрешности аппроксимации y_i.

Вопросы для самоконтроля

1. Сеточной функцией y = y_j = y(x_j) называется функция, заданная в узлах сетки. Верно ли данное высказывание?

2. Что называется погрешностью аппроксимации?

3. Что называется равномерной сеткой?