Задача прогнозирования величины популяции

Рассмотрим один интересный пример.

Пусть существует некая рыболовецкая компания, имеющая лицензию на промышленный лов рыбы в некотором строго ограниченном регионе. Для долгосрочного прогноза объемов улова компания нанимает программиста и ставит перед ним задачу создания программы, помогающей определить оптимальный объем улова в каждом конкретном году с целью максимизации прибыли компании.

Напомню, что речь здесь идет о задаче планирования эффективного использования рыбных ресурсов с учетом скорости их возобновляемости и объемов лова. Т. е. стоит задача прогнозирования величины популяции.

Для этой задачи была получена линейная математическая модель:

x(t) = x(t₀)(1+1/2*kol*β) (*)

Однако в реальности зависимость нелинейная. Опытным путем установлено, что скорость размножения в любой момент времени положительна и пропорциональна количеству особей. Скорость размножения – это есть производная от величины популяции по времени:

То, что скорость пропорциональна количеству особей, запишем в виде:

где k > 0 – коэффициент пропорциональности.

Формула (1) является дифференциальным уравнением первой степени. Убедимся, что любая функция вида:

x(t) = C*e^kt, (2)

где С – произвольная постоянная, является решением уравнения (1). Действительно, подставим (2) в (1):

По правилам дифференцирования получаем:

k*C*e^kt = k*C*e^kt.

Т. е. (2) действительно является решением уравнения (1). А это значит, что зависимость величины популяции от времени выражается по формуле (2) и имеет экспоненциальный вид.

На практике такое дифференциальное уравнение (1) решается путем интегрирования обоих его частей:

В результате такого интегрирования и получается искомое решение вида (2).

Для определения значения произвольной постоянной С решается так называемая задача Коши. Т. к. в начальный момент времени t₀ = 0 величина популяции равна x(t₀), т. е. x(0) = x(t₀) = x₀, то, подставив эти данные в решение дифференциального уравнения, получаем:

x(t) = C*e^k*0,

x(t) = C*1 = C.

Т. е. формула (2) принимает вид

x(t) = x(t₀)*e^k*t (3)

Теперь у нас есть дифференциальная модель исходной задачи. Она точнее описывает задачу, чем линейная модель. Однако ее тоже можно еще уточнить.

Сравним эту формулу (3) с формулой (*), которая описывала линейную зависимость.

Эти две формулы отличаются только видом коэффициентов при х(t₀). Но т. к. они описывают одну и ту же популяцию, то, следовательно, мы можем приравнять оба коэффициента:

e^k*t = 1+1/2*kol*β.

Здесь kol, β – некоторые известные значения. Т. е. мы получили показательное уравнение относительно k. Решив это уравнение, получим значение коэффициента пропорциональности:

k = 1/t*ln(1+1/2*kol*β). (4)

Таким образом, подставив это значение в формулу (3) для величины популяции получим:

x(t) = x(t₀)*e^{1/t*ln(1+1/2*kol*β )*t}. (5)

Эта формула полностью описывает динамику популяции во времени. Но здесь не учитывается вылов рыбы рыболовной компанией. Вспомним самую первую формулу:

z(t) = x(t)-u(t).

Здесь z(t) по сути так же обозначает количество рыбы в популяции на момент времени t. Подставив в эту формулу значение x(t) по формуле (5) и учтя последнее замечание насчет z(t), получим:

x(t) = x(t₀)*e^{1/t*ln(1+1/2*kol*β)*t}-u(t),

где u(t) – количество рыбы, выловленное компанией на момент времени t. Эта окончательная формула и будет использоваться для прогнозирования величины популяции. При этом kol, β и u(t) будут являться входными данными программы, т. е. будут некоторым образом вводиться пользователем.

4.4.4. Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения

Как Вы могли бы заметить, в процессе решения одной единственной практической задачи мы столкнулись как с дифференциальным, так и с интегральным исчислением. Более того, возможно именно сегодня Вы впервые встретились с понятием дифференциального уравнения. Подробнее дифференциальные уравнения и способы их решения рассматриваются в курсе " Элементы высшей математики". Я же позволю себе дать только основные понятия.