Определение. График первообразной от функции f(х) называется интегральной кривой функции y = f(x).

График первообразной от функции f(х) называется интегральной кривой функции y = f(x).

Очевидно, мы получим любую другую интегральную кривую, если передвинем какую-нибудь интегральную кривую параллельно самой себе в направлении оси ординат.

Поэтому неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по направлению оси Оу (рис. 4.2.1).

Рисунок 4.2.1.

К понятию определенного интеграла приводят самые разнообразные практические задачи – определение площади плоской фигуры, отыскание работы переменной силы, нахождение пути по заданной переменной скорости и многие, многие другие. Наиболее наглядной, на мой взгляд, для разъяснения сути определенного интеграла является задача нахождения площади криволинейной трапеции.

Теория площадей исходит из двух положений:

· площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна сумме площадей этих фигур;

· площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

В элементарной геометрии, например, опираясь на эти положения, находят площадь треугольника, а также и площадь многоугольника, так как всякий многоугольник может быть разбит на треугольники.

Прежде всего определим площадь криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной осью Ох, графиком непрерывной функции у = f(x) и двумя прямыми х = а и х = b (рис. 4.2.2).

Рисунок 4.2.2.

Таким образом, пусть функция у = f(x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на множество частей точками х_i (i = 1, 2, …, n) так, что:

a = x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n-1 ≤ x_n = b.

Обозначим это разбиение через Т.

Т.к. точки разбиения выбраны произвольно, то следует определить диаметр разбиения как длину максимального из всех отрезков разбиения [x_i-1, x_i]:

Рисунок 4.2.3.

где

|x₀x₁| = Δ x₁

|x₁x₂| = Δ x₂

...

|x_n-1x_n| = Δ x_n

На каждом из отрезке разбиения выберем некоторым произвольным образом точку ξ _i (см. рис. 4.2.2) так, чтобы

a = x₀ ≤ ξ ₁ ≤ x₁ ≤ ξ ₂ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n-1 ≤ ξ _n ≤ x_n = b.

Площадь всей криволинейной трапеции будем рассматривать как совокупность (сумму) площадей всех прямоугольников, построенных на отрезках разбиения аналогичным способом (см. рис. 4.2.2 – закрашенный прямоугольник). А площадь каждого из них вычисляется как произведение его основания на высоту. Основанием в данном случае является отрезок разбиения (в численном выражении – его длина, т. е. Δ x_i), а высотой – отрезок [ξ _i, f(ξ _i)]. Численное значение длины этого отрезка равно значению функции в точке ξ _i – f(ξ _i). Таким образом, площадь соответствующего прямоугольника равна f(ξ _i)*Δ x_i, а сумма всех таких площадей:

Эта сумма называется интегральной суммой и обозначается

Обратите внимание – на рисунке хорошо видно, что такая сумма равна площади криволинейной трапеции лишь приближенно, т. к. верхняя сторона прямоугольника вовсе не точно совпадает с графиком функции. Однако если разбиение сделать как можно более мелким (т. е. увеличить количество точек деления исходного отрезка), то точность такого сопоставления возрастет. Иными словами, для повышения точности вычисления площади криволинейной трапеции надо уменьшать диаметр разбиения. В идеале диаметр разбиения должен стремиться к нулю. В этом случае каждый из прямоугольников сольется в одну линию (по вертикали), а его верхняя грань будет представлять собой точку, из которых и состоит точный график заданной функции. Таким образом, мы приходим к понятию определенного интеграла: