Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

В предположении, что определитель этой системы не равен нулю, будем решать систему методом исключения неизвестных – методом Гаусса. Приведем систему к «треугольному» виду.

Покажем получение системы (2).

Шаг 1. Пусть a₁₁ ≠ 0 Первое уравнение оставляем без изменения (ведущая строка). Все уравнения, начиная со второго, умножаем на a₁₁. Затем первое уравнение умножаем последовательно на a₂₁, a₃₁,..., и вычитаем соответственно из второго, третьего,..., n – го.Система принимает вид

Шаг 2. Пусть a₁₂ ⁽¹⁾ ≠ 0. Оставим без изменения первое и второе уравнения. Все уравнения, начиная с третьего, умножаем на a₁₂⁽¹⁾. Затем второе уравнение (ведущая строка) умножаем последовательно на a_{3 2}⁽¹⁾, a _{4 2}⁽¹⁾,..., a _{n, 2} ⁽¹⁾ и вычитаем соответственно из третьего,..., n – го.Система принимает вид

Здесь

Продолжая аналогичным образом, на n – 1 - ом шаге придем к системе (2).

Последнее уравнение системы (1) примет вид

Указанные преобразования носят название «прямой ход».

Далее, полагая, что все неизвестные x_n, x _{n – 1,} ..., x _{i + 1} вычислены, можно вычислить неизвестную x _i. Для этого рассмотрим i –ю ведущую строку. Отсюда получим

Полученные преобразования носят название «обратный ход».

Блок-схема программы решения системы методом Гаусса имеет вид.

Начало

Ввод n. a(n, n +1)

i = 1, n - 1

k = i + 1, n «Прямой ход»

l = i+1, n+1

i = n – 1, 1

x(i) = a(i, m)

k = i + 1, n

Обратный ход

x(i) = x(i) –a(i, k)*x(k)

Вывод x i

( end)

П р и м е р Решить систему уравнений

2x₁+ 3x₂ + x₃ = 10,

x₁+ 4x₂ + 3x₃ = 15,

4x₁+ x₂ + x₃ = 12.