Тема 6. Численное интегрирование

Цель: Сформировать у студентов представление о методах численного интегрирования.

Вопросы:

6.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса.

6.2. Принцип Рунге оценки погрешностей.

632. Метод статистических испытаний.

6.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса

При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница возникают определенные сложности:

1) даже в простейших случаях точное вычисление первообразной требует больших выкладок.

2) Даже для элементарной функции числа не выражаются через элементарную функцию (а только суммой ряда)

3) При известном аналитическом виде первообразной возникают проблемы вычисления точного её значения.

Т.о. для решения целого ряда прикладных задач необходима метода, позволяющая быстро и с любой точностью находить значения интегралов.

Существует два основных подхода:

1) применение т.н. квадратурных формул

2) статистические методы.

Для получения квадратурной формулы обычно используется интерполяция, например многочлен Лагранжа.

Так как , где узлы интерполяции ,

(2)

где зависят только от выбора и расположения точек , .