Источники погрешностей при вычислениях по формулам.

Оглавление

Тема 1. Основы теории погрешностей. 3

Источники погрешностей при вычислениях по формулам. 3

1.1.Абсолютная и относительная погрешности. Оценки погрешностей. 4

1.2. Границы значений числовых величин. 6

1.3. Запись приближенных значений. Верные знаки. 7

1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило подсчета верных знаков. 8

1.5. Линейные оценки погрешностей. 9

1.6. Метод границ. 10

1.7. Правила подсчета верных знаков. 11

Контрольные вопросы.. 12

Литература. 12

Тема 2. Численные методы решения уравнений с одним неизвестным.. 13

2.1. Постановка задачи. Метод последовательных приближений. Отделение корней. 13

2.2. Метод половинного деления. 14

2.3. Метод простой итерации. 15

2.4. Метод касательных. 17

2.5. Метод секущих. 18

2.6. Комбинированный метод секущих и касательных. 19

Контрольные вопросы.. 20

Литература. 20

Тема 3. Численные методы решения систем уравнений. 21

3.1. Постановка задачи. 21

3.2. Метод Гаусса. 22

3.3. Метод простой итерации решения систем линейных уравнений. 23

Контрольные вопросы.. 26

Литература. 26

Тема 4. Интерполирование функций. 27

4.1. Постановка задачи. 27

4.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 28

Контрольные вопросы.. 30

Литература. 31

Тема 5. Наилучшее среднеквадратическое приближение. 31

5.1. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. 31

Контрольные вопросы.. 35

Литература. 35

Тема 6. Численное интегрирование. 35

6.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса 35

6.2. Принцип Рунге оценки погрешностей. 38

6.3. Статистический метод вычисления интегралов. 39

Контрольные вопросы.. 42

Литература. 42

Глоссарий. 42

Тема 1. Основы теории погрешностей

Цель: Сформировать у студентов представление о причинах возникновения погрешностей при вычислениях по формулам и методах их оценки.

Вопросы:

1.1. Абсолютная и относительная погрешности. Оценки погрешностей.

1.2. Границы числовых величин.

1.3. Запись приближенных значений. Верные знаки.

1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило верных знаков.

1.5. Линейные оценки погрешности.

1.7. Метод границ.

1.8. Правила верных знаков.

Основная задача численных методов – построение вычислительного алгоритма, позволяющего с требуемой степенью точности получить решение в численном виде.

Этот алгоритм обычно предполагает ориентацию на ЭВМ. Поэтому под вычислительным алгоритмом понимается конечная последовательность арифметических и логических операций над числами, при помощи которых находится решение поставленной математической задачи в числовом виде.

В классической математике, как правило, ищется аналитическое решение задачи, т.е. в виде формул, либо доказывается соответствующая теорема о существовании решения.

Источники погрешностей при вычислениях по формулам.

При вычислениях по заданным формулам нередко возникают ситуации, когда результат вычислений имеет погрешность, т.е. он не совпадает с точным значением искомой величины.

Пример. Требуется определить площадь прямоугольника, нарисованного на бумаге. S=a*b.

Пример. Требуется вычислить длину окружности с радиусом R=1. l=2π R=2π. Но число π невозможно записать в виде десятичной дроби с конечным числом разрядов. Чтобы выйти из положения приходится его округлять, т.е. заменять другим числом с меньшим числом разрядов. В результате Мы не получим точного значения искомого результата.

Пример. Требуется произвести вычисления по формуле c=a*sinb при известных точных значениях a и b: a=2 и b=1. Для вычисления sin необходимо использовать либо таблицы, либо вычислительную технику.

Рассмотренные примеры показывают, что можно выделить следующие источники ошибок при вычислении по формулам:

1. Погрешности аргументов формулы.

2. Погрешности, возникающие в результате округлений.

3. Погрешности, возникающие при вычислении значений таких функций, как тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.

4. Прямые ошибки вычислителя.

Если ошибки вычислителя можно исправить, то ошибки, порождаемые первыми тремя источниками, неустранимы в принципе. Поэтому возникает практическая потребность работать с приближёнными значениями величин, оценивать их точность.