Улучшение аппроксимации.

Из соотношений для приближений производных очевидно, что порядок их точности прямо пропорционален числу узлов. Но с их увеличением эти соотношения становятся сложнее, объем вычислений возрастает.

Существует очень простой и эффективный способ уточнения решения при фиксированном числе узлов.

Это Метод Рунге-Ромберга.

Пусть -производная, которая подлежит аппроксимации; -конечно-разностное приближение этой производной на равномерной сетке с шагом ; -погрешность (остаточный член) аппроксимации, главный член которой можно записать в виде

.

Тогда выражение для приближения производной в общем случае можно представить в виде

. (12.15)

Запишем это же соотношение в той же точке при другом шаге .

Получим . (12.16)

Приравняем правые части последних равенств

;

;

.

Подставляя найденное выражение в равенство (12.15), получаем формулу Рунге:

. (12.17)

Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной

с шагами и порядками точности найти ее уточненное значение с порядком точности .

Пример. Вычислить производную функции в точке . (Для

оценки результатов вычислений мы заранее знаем точный ответ, так как ).

Пусть дана таблица значений ф-ции:

	0, 8 0, 9 1, 0 0, 512 0, 729 1, 0

Найдем производную численно. (Из данных таблицы зависимость мы можем не знать).

Воспользуемся приближением производной с помощью левых разностей, имеющей первый порядок ().

Примем шаг равным 0, 1. Потом - 0, 2; т.е. .

;

.

По формуле Рунге находим уточненное значение производной:

.

Таким образом, мы убеждаемся, что формула Рунге дает более точное значение производной.

Предположим теперь, что расчеты м/б проведены с шагами Тогда уточненное решение для производной можно получить по формуле Ромберга, которая имеет вид

׃

Согласно последнему выражению порядок приближения возрастает на .