С одной переменной

ПРОГРАММА КУРСА

1. Понятие об учете погрешностей приближенных вычислений.

2. Приближенное решение уравнений с одной переменной: отделение корней, метод половинного деления, методы хорд и касательных, комбинированный метод. Апостериорные оценки погрешностей методов.

3. Метод простой итерации: обоснование сходимости, оценка точности. Принцип сжимающих отображений в метрических пространствах. Применение к системам линейных и нелинейных уравнений.

4. Интерполирование функций: постановка задачи и ее разрешимость. Вывод интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Оценка погрешности формул. Кусочно-полиномиальное интерполирование: кубические сплайны.

5. Численное дифференцирование: особенности задачи. Численное дифференцирование на основе интерполяционных формул. Оценка остаточного члена.

6. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса. Метод трапеций и метод Симпсона. Оценки погрешностей методов.

7. Среднеквадратическое приближение функций: постановка задачи точечной аппроксимации. Многочлен наилучшего среднеквадратического приближения: способ построения, существование и единственность.

8. Способ наименьших квадратов составления эмпирических формул. Линейная, квадратичная, степенная и показательная зависимости.

9. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Применение принципа сжимающих отображений к решению задачи Коши. Метод последовательных приближений. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений типа Рунге-Кутта: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера-Коши, метод четвертого порядка точности.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

Приближенное решение нелинейных уравнений

с одной переменной

Рассмотрим нелинейное уравнение общего вида:

f (x) = 0, (1)

где f (x) – действительная (достаточно гладкая) функция действительной переменной x.

Поставим задачу приближенного вычисления действительных простых изолированных корней уравнения (1). Корень уравнения (1) называют также нулем функции f (x).

Число x называется простым корнем уравнения (1), если f (x)=0, но f ' (x)¹ 0.

Число называется приближенным значением корня x или просто приближенным корнем уравнения (1) с заданной точностью e, если | -x|< e.

Отрезок [ a; b ] называется промежутком изоляции корня x, если на нем, кроме x, нет корней уравнения (1).

Решение поставленной задачи разбивается на два этапа. I этап – отделение корней, то есть установление промежутков изоляции корней. На этом этапе полезны следующие утверждения из анализа: если

1) f (x) непрерывна на [ a; b ],

2) f (a) f (b)< 0,

то уравнение (1) имеет корень xÎ [ a; b ]; если дополнительно

3) f ' (x) сохраняет знак на [ a; b ],

то [ a; b ] – промежуток изоляции корня x.

Пусть найден отрезок [ a; b ], где f (a) f (b)< 0, который содержит только один корень уравнения (1). Этот неизвестный корень обозначим буквой x. На II этапе по заданному числу e > 0 требуется на отрезке [ a; b ] найти приближенный корень с точностью e. Корень будем искать итерационными методами.

Метод половинного деления

состоит в повторении (итерировании) следующей процедуры:

1) вычисление точки , соответствующей середине отрезка [ a; b ];

2) вычисление значения функции f (c);

3) переход к отрезку удовлетворяющему всем свойствам отрезка [ a; b ], но вдвое меньшей длины.

В результате получаем последовательность { c_n } середин отрезков [ a_n; b_n ], длина которых неограниченно уменьшается.

" Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые либо f (c_n)=0, либо b_n - a_n £ 2e. Искомый приближенный корень

.

Метод хорд

состоит в построении последовательности { x_n } по итерационной формуле

x_n+1=x_n- ( ₀ -x_n), n =0, 1, 2, …,

начиная из начального приближения

x ₀ = (2)

а ₀ – противоположный x ₀ конец отрезка [ a; b ].

Условие сохранения знака f '' (x) на отрезке [ a; b ] является достаточным условием сходимости метода хорд. Если f ' (x) сохраняет знак на отрезке [ a; b ] и выполняется условие

0 < m ₁ £ | f ' (x)| £ M ₁, " x Î [ a; b ],

то имеет место следующее

" правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство

.

Искомый приближенный корень

= x_n.

Метод Ньютона (метод касательных)

состоит в построении последовательности (черта над x_n ставится для удобства изложения) по итерационной формуле

, n= 0, 1, 2, …,

начиная из начального приближения ₀, определенного в методе хорд (2).

Условие сохранения знаков f ' (x) и f '' (x) на отрезке [ a; b ] является достаточным условием сходимости метода Ньютона. Если вторая производная f '' (x) ограничена на отрезке [ a; b ] и выполняется условие

0 < m ₁ £ | f ' (x)|, " x Î [ a; b ],

то имеет место следующее

" правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство| _n - _{n- 1}| £ e.

Искомый приближенный корень

= _n.

Комбинированный метод

состоит в построении двух последовательностей { t_n } и путем поочередного применения итерационных формул

начиная из начальных приближений

t ₀ = x ₀, ₀ = ₀,

где x ₀, ₀ - концы отрезка [ a; b ], определенные в (2).

Поясним комбинированный метод на рисунке.

" Правило останова": вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство

| t_n - _n| £ 2e.

Искомый приближенный корень

.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается этап отделения корней при применении численных методов решения уравнений?

2. Какие свойства функции используются при нахождении промежутков изоляции корня?

3. Какие общие соображения можно использовать для оценки приближенных значений корня?

4. Какие цели преследуются при применении метода половинного деления?

5. Каковы достаточные условия сходимости метода хорд? Какой конец отрезка изоляции корня остается неподвижным в методе хорд?

6. Каковы достаточные условия сходимости метода Ньютона? Как выбирается начальное приближение?

7. В чем смысл комбинированного метода?

8. Какие условия являются критериями достижения заданной точности при решении уравнения методами хорд и Ньютона?

Задание №1. Отделить корни заданного уравнения.

Задание №2. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить метод половинного деления.

Задание №3. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить метод хорд.

Задание №4. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить метод Ньютона.

Задание №5. Для вычисления выбранного корня с точностью до применить комбинированный метод.

Варианты заданий 1-5 приводятся в таблице 1.

Указания к выполнению заданий

Задание №1. Следует установить число p корней заданного уравнения и область (a, b) их расположения. Это можно осуществить графически, записав уравнение в виде

f ₁ (x) = f ₂ (x)

с простыми функциями f ₁ и f ₂ и схематично построив их графики. Количество точек пересечения графиков даст число p, а интервал, который содержит

Таблица 1

Вари- анты	Уравнение	Вари- анты	Уравнение
	2 x 4_2 x -3=0		sin x -0.2 x =0
	(0, 2 x) 3=cos x		x 4 - x -1=0
	x 3+3 x 2-1, 3=0		cos x -0.1 x 2=0
	x-10 sin x =0, x< π		x 3-1, 3 x 2+0, 3 x -0, 4=0
	x 3-1, 3 x 2-9 x +12=0		lg (x+ 3)-1.02sin x =0, x> -2
	2x -2cos x -1=0, x> -π		x 4 = x +1, 5
	4 x 4_6, 2=0, 6 x		25 cos x+4x=0, x> - π /2
	lg (x+3) =cos x, x< π		x 3+3, 1 x 2-1, 3=0
	0, 3 x - x (x- 1)2=0, 2		sin 2x=3-4 x2
			4 x 4_6=0, 6 x
	x 2(2- x 2)=0, 3
	x sin x -1=0, 0< x< π		2 x 3+5 x 2-2, 9=0
	9, 1 x 4=(3 x -1)3+1, 5		0, 1 x 3-0, 8 x 2-1, 5=0
	8 cos x-x=6, x> -3		x 2 = 0, 6-0, 4 x 3
	(3-0, 5 x 2)(x +2, 5)=2		x 2 × (x 2+4)=3

абсциссы всех этих точек, – область (a, b). Взять в (a, b) систему точек {a _k } так, чтобы таблица

имела p перемен знака.

Задания №№3-5. Для вычисления итераций следует составить таблицу. Например, в случае метода хорд таблица имеет вид:

n	xn	f (xn)	f ( 0) - (2)	0 – (1)	(2): (3)× (4)	(1)-(5)	| xn+ 1 -xn | = |(5)|
…