Лабораторная работа 2. Аппроксимация функций

Теория

Если задана функция f(x), то это означает, что любому допустимому значению x сопоставлено значение y= f(x). Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция f(x) может участвовать в каких - либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию f(x) приближенной функцией, то есть подобрать такую функцию φ (x), которая близка в некотором смысле к f(x) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают f(x) = φ (x).

Чаще всего в качестве приближающих функций берутся многочлены. Важное свойство многочленов - это функции простой природы. Чтобы вычислить многочлен, нужно исполнить конечное число арифметических операций.

Общая задача интерполирования заключается в построении функции, вообще говоря, отличной от данной y= f(x), которая может быть известна, но задана слишком сложным аналитическим выражением, или неизвестна и задана в виде таблицы значений. Построенная функция должна принимать в заданных точках те же значения, что и данная функция f(x). В этом определении сформулированы две задачи:

1. Построение для функции, имеющей аналитическое выражение, такой более простой функции, которая заменила бы данную в вычислениях.
2. Для функции, заданной таблицей, найти такую формулу, которая давала бы возможность находить значения функции для промежуточных значений аргумента.

Пусть на отрезке [a, b] заданы n+1 точек x0 x1..., x n. Эти точки называются узлами интерполяции. И даны значения некоторой функции f(x) в этих точках

y= f(x).

Требуется построить функцию φ (x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е.