Метод обратных матриц

Численные методы

Лабораторный практикум

Лабораторная работа 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 3

Теория. 3

Метод обратных матриц. 4

Метод простых итераций. 7

Варианты.. 12

Лабораторная работа 2. Аппроксимация функций. 13

Теория. 13

Интерполяционная формула Лагранжа. 14

Организация вычислений по формуле Лагранжа. 15

Варианты.. 16

Лабораторная работа 3. Решение нелинейных уравнений. 16

Теория. 16

Отделение корней. 17

Подбор параметра. 17

Пример оформления на рабочем листе. 18

Поиск решения. 18

Пример оформления на рабочем листе. 19

Варианты.. 20

Лабораторная работа 4. Решение систем нелинейных уравнений. 20

Варианты.. 20

Лабораторная работа 5. Численное интегрирование. 20

Варианты.. 20

Лабораторная работа 6. Задачи оптимизации. 21

Варианты.. 21

Лабораторная работа 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Теория

Многие задачи экономического характера сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему вида

(1)

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа a_ij (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа b_i (i = 1, 2, …, n) – свободными членами. Такая форма записи (1) алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением СЛАУ (1) называется совокупность чисел x_i (i = 1, 2, …, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.
Систему (1) можно записать в матричной форме

где A – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

(2)

X – вектор-столбец неизвестных X = (x₁, x₂, …, x_n) ^T:

(3)

B – вектор-столбец свободных членов:

(4)

или B = (b₁, b₂,..., b_n) ^T. Целое число n называется размерностью системы.

(5)

Система уравнений (5) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае. Совместная система (5) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Метод обратных матриц

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A^-1AX=A^-1b, EX=A^-1b, (E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A^-1b.

Решить систему методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (Рисунок 1).

Рисунок 1

В нашем случае матрица А находится в ячейках С4: Е6, а вектор b в диапазоне G4: G6. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки С9: E11. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (Рисунок 2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив. Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае С4: Е6. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рисунок 2

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на Рисунок 3.

Рисунок 3

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например G9: H11. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (Рисунок 4) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае C9: E11 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G4: G6 (вектор b).

Рисунок 4

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках G9: G11.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(C4: E6; G9: G11), так как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рисунке 5.

Рисунок 5