ВВЕДЕНИЕ. Федеральное агентство по образованию РФ

Федеральное агентство по образованию РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

В.И.Смагин, Г.Н.Решетникова

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Аппроксимация, дифференцирование

И интегрирование

Учебное пособие

Томск

УДК 519.6

ББК 22.19

В31

Авторы:

Смагин Валерий Иванович – профессор кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, доктор технических наук.

Решетникова Галина Николаевна – доцент кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, кандидат технических наук.

Смагин В.И., Решетникова Г.Н.

Численные методы (аппроксимация, дифференцирование и интегрирование). / Под редакцией проф. В.И.Смагина. Учебное пособие. – Томск: Томский государственный университет, 2007. – 204 с.

В учебном пособии рассматриваются основы теории погрешностей, вопросы приближения функций, изучаются алгоритмы численного дифференцирования и интегрирования. Приводятся контрольные вопросы и задания.

Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике» и «Прикладная математика и информатика».

Рецензенты:

Н.С. Дёмин, доктор физико-математических наук, профессор

Г.М. Кошкин, доктор физико-математических наук, профессор

Томский государственный университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................................ 6

ВВЕДЕНИЕ............................................................................... 7

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ............................... 9

1.1. Математические оценки точности приближенного числа 9

1.2. Запись чисел на ЭВМ..................................................... 9

1.3. Верные знаки приближенного числа........................... 10

1.4. Классификация погрешностей..................................... 11

1.5. Погрешность вычисления функции многих переменных 12

1.6. Обратная задача теории погрешностей...................... 14

1.7. Погрешности простейших функций............................ 15

1.8. Контрольные вопросы.................................................. 17

1.9. Задания к главе 1.......................................................... 18

2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ...................................... 19

2.1. Постановка задачи........................................................ 19

2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа................... 21

2.3. Интерполяционная схема Эйткена.............................. 25

2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа..................... 27

2.5. Разделенные разности и их свойства........................... 30

2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах 32

2.7. Многочлены Чебышева и их свойства........................ 35

2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа 38

2.9. Многочлены наилучшего равномерного приближения 40

2.10. Экономизация степенных рядов................................ 43

2.11. Интерполирование с кратными узлами..................... 45

2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах........ 46

2.12.1. Конечные разности.............................................. 46

2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы... 48

2.12.3. Формулы Гаусса.................................................. 49

2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя........................... 51

2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой погрешности 53

2.13. Сплайн-функции......................................................... 56

2.13.1. Линейный сплайн................................................. 56

2.13.2. Параболический сплайн...................................... 58

2.13.3. Кубический сплайн.............................................. 61

2.13.4. В-сплайны............................................................. 64

2.13.5. Эрмитовы сплайны.............................................. 69

2.14. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов (МНК) 72

2.14.1. Аппроксимация алгебраическими полиномами. 74

2.14.2. Аппроксимация ортогональными полиномами.. 77

2.14.3. Аппроксимация ортогональными полиномами дискретной переменной 78

2.15. Аппроксимация функций многих переменных......... 81

2.15.1. Построение интерполяционных многочленов... 81

2.15.2.Метод последовательного интерполирования.... 84

2.15.3. Применение метода наименьших квадратов...... 85

2.16. Контрольные вопросы................................................ 88

2.17. Задания к главе 2........................................................ 90

3. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ......................... 93

3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах 94

3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах 98

3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге 105

3.4. Метод квадратурных формул.................................... 107

3.4. Контрольные вопросы................................................ 108

3.5. Задание к главе 3........................................................ 109

4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ................................ 110

4.1. Общая интерполяционная квадратура...................... 111

4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса................ 114

4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников........ 118

4.2.2. Квадратурная формула трапеций....................... 123

4.2.3. Квадратурная формула Симпсона (парабол)..... 124

4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых” (формула Ньютона) 126

4.3. Метод Рунге оценки погрешности............................. 128

4.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 131

4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности 140

4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами 160

4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов 166

4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов 169

4.9. Методы Монте-Карло................................................ 172

4.9.1. Простейший метод Монте-Карло....................... 172

4.10. Контрольные вопросы.............................................. 186

4.11. Задания к главе 4...................................................... 189

5. ПРИЛОЖЕНИЕ. ВАРИАНТЫ К ЗАДАНИЯМ................ 192

5.1. Варианты к заданиям 1.1............................................ 192

5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5..................................... 194

5.3. Варианты к заданиям 2.6............................................ 196

5.4. Варианты к заданиям 2.7-2.8, 3.1.............................. 197

5.5. Варианты к заданиям 4.1-4.6..................................... 199

5.6. Варианты к заданиям 4.7............................................ 201

ЛИТЕРАТУРА....................................................................... 204

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика» и «Математические методы в экономике» и соответствует содержанию Государственного образовательного стандарта по дисциплине «Численные методы». Учебное пособие включает основные понятия теории погрешностей, теорию аппроксимации функций, методы численного дифференцирования и интегрирования. Изучение этих разделов дает необходимые знания для студентов данных специальностей и служит основой для изучения других дисциплин, преподаваемых на старших курсах. В учебном пособии изложены теоретические вопросы дисциплины, в нем содержится большое количество примеров, контрольных вопросов и заданий для организации компьютерного практикума. В приложении приведены варианты исходных данных к заданиям.

Учебное пособие может быть полезным для студентов, обучающихся по математическим, инженерно-техническим и экономическим специальностям, а также для специалистов, желающих познакомиться с методами численного решения практических задач.

Авторы будут благодарны за любые замечания и предложения по содержанию и оформлению учебного пособия.

ВВЕДЕНИЕ

Численные методы находят применение там, где рассматриваются явления и процессы, подчиняющиеся количественным оценкам. Эти явления и процессы могут возникать в различных сферах и областях, например, в физике, технике, экономике, механике, астрономии, биологии, медицине и т.д.

Известно, что не всякая задача имеет аналитическое решение. Часто аналитическое решение поставленной задачи очень сложно получить или его вообще не существует. В этом случае на помощь приходят вычислительные алгоритмы и численные методы.

В разработке численных методов принимали участие такие известные ученые как Эйлер, Лагранж, Ньютон, Чебышев, Лобачевский. Но особенно бурно они начали развиваться в связи с появлением электронных вычислительных машин (ЭВМ). Изучение вычислительных алгоритмов должно осуществляться с учетом специфики ЭВМ:

а) ограниченное быстродействие;

б) ограниченный размер разрядной сетки, используемой для хранения числа;

в) ограниченность памяти.

Кроме того, к математической задаче должны быть предъявлены следующие требования:

а) устойчивость (малые изменения исходные данных должны приводить к малым изменениям результата);

б) корректность (задача называется корректной, если для любых значений исходных данных из некоторого заданного класса, ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным).

Отметим, что численные методы в некоторых случаях разработаны и для решения некорректных задач. Здесь существенный вклад внес академик А.Н.Тихонов.

Основные требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам, заключаются в том, алгоритм должен быть:

1) реализуемым, т.е. давать решение задачи за допустимое машинное время;

2) экономичным по времени счета (среди эквивалентных по точности алгоритмов необходимо выбрать тот, который дает решение за минимальное время счета);

3) экономичным по объему используемой памяти ЭВМ;

4) сходящимся (при неограниченном увеличении числа итераций или числа решаемых уравнений решение должно стремиться к решению исходной задачи);

5) вычислительно устойчивым (это свойство характеризует скорость накопления суммарной погрешности за счет влияния погрешности округления, обусловленной ограниченностью разрядной сетки представления чисел в ЭВМ).

По курсу «Численные методы» имеется достаточно обширная литература [1-12], в которой отражен широкий круг задач вычислительной математики.

В настоящем учебном пособии рассматриваются следующие разделы:

- основы теория погрешности;

- аппроксимация функций;

- численное дифференцирование;

- численное интегрирование;

- приложение.

В разделах 1-4 учебного пособия приведены контрольные вопросы и задания, которые выполняются студентами в дисплейном классе с использованием пакетов прикладных программ Mathcad [13] и Matlab [14].

Предполагается, что студенты, приступающие к изучению курса «Численные методы», знакомы с такими разделами высшей математики как дифференциальное и интегральное исчисление, линейная алгебра, а также владеют навыками работы с компьютером в объеме курса «Информатика».