Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Эйлера. В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
|
|
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равен 
.
Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид 
или 
, откуда y1=y0+hf(x0, y0).
Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M1(x1, y1) равен 
. Точку M2(x2, y2) получим соответственно
x2=x1+h y2=y1+hf(x1, y1).
Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x0, y0) на сетке отрезка [ a, b ] с шагом h:
xi=xi-1+h yi=yi-1+hf(xi-1, yi-1). (4)
|
|
Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки M0, M1, …, Mm, которую называют ломаной Эйлера.
 |
Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
, (5)
которое можно представить в виде d=Ch, где 
. Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xi Î [ a, b ] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:
(6)
где P – порядок точности численного метода.
Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.
| Блок-схема решения ДУ методом Эйлера |
|
Программа решения дифференциального уравнения методом Эйлера
program Eiler;
var x, a, b, h, y: real;
m, i: integer;
function f(x, y: real): real;
begin f: =cos(x);
end;
begin writeln('Введите значения концов отрезка [a, b]');
readln(a, b);
writeln('Введите начальное значение y0=y(x0)'); readln(y);
writeln('Введите число значений функции на промежутке [a, b]'); read(m);
x: =a; h: =(b-a)/m;
for i: =0 to m do
begin writeln (x: 10: 3, y: 15: 4);
y: =y+h*f(x, y); x: =x+h
end; readln;
end.
|
|