Основные определения и постановка задачи

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид: (1)

Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .

График решения y=y(x) называется интегральной кривой.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀ (2). Пару чисел (x₀, y₀) называют начальными данными.

Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (1) при условии (2).

Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку (x₀, y₀).

Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Пусть функция f(x, y) – правая часть уравнения - непрерывна вместе со своей частной производной по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x₀, y₀)Î D задача Коши имеет единственное решение y=y(x).

При выполнении условий теоремы через точку (x₀, y₀) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

В классическом анализе разработано немало приемов решения дифференциальных уравнений, однако при решении практических задач эти методы не дают результата. В этом случае прибегают к методам приближенного решения дифференциальных уравнений. В зависимости от формы представления решения выделяют

· аналитические методы (решение в виде аналитического выражения);

· графические методы (решение в виде графика);

· численные методы (решение в виде таблицы).

Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение y(x) в виде таблицы его приближенных значений аргумента x на некотором отрезке [ a, b ]:

x₀=a, x₁, x₂, …, x_m=b (3)

Точки (3) называют узловыми, множество этих точек называют сеткой на отрезке [ a, b ].

Как правило, используют равномерную сетку с шагом h:

x_i=x₀+ih (i=0, 1, …, m)

Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим y_i. y_i» y(x_i), где (i=0, 1, …, m)

Начальное условие выполняется точно: y₀ = y(x₀).

Величина погрешности численного решения задачи Коши на сетке отрезка [ a, b ] оценивается величиной ,

т.е. расстоянием между векторами приближенного решения (y₀, y₁, …, y_m) и точного решения (y(x₀), y(x₁), …, y(x_m)) на сетке по m -норме.