Методы интерполяции.

Глава 3.

Постановка задачи.

Известны значения таблично заданной функции. Необходимо определить значения

функции между “узлами таблицы”. Таблицы бывают 2-х и 3-х мерными. Выбирается тип функции, с помощью которой производится интерполяция. Затем определяются ее параметры (коэффициенты) при условии прохождения функции через узлы. Такое приближение называется интерполяцией.

Если требуется определять значения функции за пределами выбранных узлов (слева или справа), то употребляется термин экстраполяция.

Обычно используется интерполяция многочленами. Иногда целесообразнее использовать интерполяцию дробно-рациональными функциями.

При составлении стандартных программ расчета элементарных и специальных функций также используется интерполяция. При этом требуется обеспечить точность, эффективность и рациональное использование памяти.

Перед началом вычислений следует решить четыре вопроса:

1. Какие узлы функции использовать как опорные?

2. Какой класс функций использовать для аппроксимации по выбранным узлам?

3. Какой критерий согласия будет применён.

4. Какая точность требуется?

1. Чаще всего используются равноудалённые узлы.

2. В инженерных расчётах обычно используют аппроксимацию прямыми, либо квадратичными параболами. Реже используются многочлены с более высокими степенями.

В ТАУ часто используются гармонические функции: sin при расчете рядов и интегралов Фурье и показательные функции: .

3. Точное совпадение выбранной для аппроксимации функции в узловых точках.

4. Совпадение результатов в 4-5 десятичных знаках.

Кроме аналитического “представления” таблиц, представляет интерес графическое изображение информации. Таким образом, это два главных применения интерполяционных формул. Наряду с задачей определения значений между узлами (0, 1, 2, 3, 4) столь же актуальна задача определения значений функции за одним из граничных узлов (левым или правым), где сетка ещё не сформирована. В этом случае можно говорить об экстраполяции функции. При этом используются обычные формулы интерполяции.

При использовании граничных условий (при численном решении уравнений в частных производных) приходится использовать различные формулы (схемы) интерполяции для сохранения точности вычислений (вперёд, назад, центральные).

Указанная задача может быть существенно усложнена, если требуется “отслеживать” перемещение границы расположения различных сред в динамике, т.е. во времени. Например, в газовой динамике необходимо определять расположение скачка уплотнения и его перемещение. Сказанное относится к математическим моделям, описанным дифференциальными уравнениями в частных производных. “ Передний фронт” вычислительной математики в настоящее время располагается в сфере таких задач.

Обыкновенные дифференциальные уравнения не имеют пространственного измерения, у них одна независимая переменная – время. Уравнения математической физики требуют решения двух – трёхмерных задач (время и пространственные координаты).

Чаще такие математические модели описывают поведение объектов управления.

Соответственно и интерполяция требуется по двум – трём координатам.

Рассмотрим задачу интерполяции в следующей постановке, Имеем

.

1. Пусть известное значение в точках: . Тогда легко получить систему уравнений (в n+1 точке)

Система имеет решение относительно , т.к. определитель Вандермонда

где

отличен от нуля при всех (нет двух равных строк и столбцов). Задача имеет множество решений, но позволяет определить аналитическое выражение .

2. Можно потребовать, чтобы многочлен f(x) степени n проходил через фиксированные точки (равноотстоящие или не равноотстоящие).

3.1.Метод интерполяции Лагранжа.

Рассмотрим функцию , проходящую через точки :

(3.1)

См. рис. 3.1. Указанные в (3.1) функции называются коэффициентами полинома Лагранжа и формируются так:

Рис. 3.1.

Легко оценить, что в узловых точках коэффициенты полиномов Лагранжа имеют следующие значения:

Поэтому f(x) принимает в узловых точках значения f(x₀), f(x₁), f(x₂), f(x₃).

В общем виде коэффициенты полинома можно записать так:

В общем виде функцию f(x) можно записать так: .

В коэффициентах полинома Лагранжа знаменатели содержат постоянные коэффициенты, которые легко определяются после разбивки интервала на узлы.

Приведем программу интерполяции методом Лагранжа.

function [C, L]=lagran(X, Y)

%Вектор абсцисс X

%Вектор ординат Y

%Вектор коэффициентов интерполирующего полинома С

%Матрица коэффициентов полинома Лагранжа L

%Обращение из МАTLAB: X=0: 0.5: 2; Y=exp(-X).*sin(3*X); [C, L]=lagran(X, Y)

w=length(X);

n=w-1;

L=zeros(w, w);

for k=1: n+1

V=1;

for j=1: n+1

if k~=j

V=conv(V, poly(X(j)))/(X(k)-X(j));

end

end

L(k,:)=V;

end

C=Y*L;

X=0: 0.1: 2;

Y=exp(-X).*sin(3*X);

Y1=C(1).*X.^4+C(2).*X.^3+C(3).*X.^2+C(4).*X;

plot(X, Y, X, Y1)