Система линейных алгебраических уравнений

Задачи решения систем уравнений появляются практически во всех областях прикладной математики. В некоторых случаях системы уравнений составляют ту задачу, которую нужно решать, в других – некоторая задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений.

Будем рассматривать систему из n уравнений с n неизвестными. Каждый член уравнения содержит только одно неизвестное и каждое неизвестное входит в уравнение в первой степени. Такая система уравнений называется линейной.

В случае дух неизвестных каждое уравнение изображается линией; трех неизвестных –плоскостью; для 4-х и более неизвестных – гиперплоскостью. Искомое решение системы уравнений представляет собой набор значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям.

На вопрос о разрешимости рассматриваемой системы уравнений существует тир возможных ответа:

1. решение системы существует и является единственным, например

(1)

Решением этой системы является: x=1; y=2 – координаты точки пересечения двух прямых.

Никакие другие значения неизвестных не удовлетворяют одновременно два уравнения.

2. Система уравнений не имеет решения, например

(2)

Линии соответствующие приведенным уравнениям параллельны друг другу и, следовательно, не имеют точек пересечения.

3. Система уравнений имеет бесконечное множество решений:

(3)

В этом случае оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Поскольку прямые совпадают, то любая точка, лежащая на одной прямой будет решением системы.

Системы уравнений (2) и (3) называются вырожденными (детерминанты равны нулю). На практике встречаются случаи, когда системы являются плохо обусловленными, для которых затруднительно бывает отыскать решение, например:

(4)

Прямые в системе (4) близки друг к другу. Решением этой системы являются значения x=1, y=1, но при значениях неизвестных - x=2.415, y=0 получим

(5)

хотя точка (2.475, 0) не принадлежит ни одной прямой. В этом случае найти численное решение трудно, а точность сомнительна. Система из 3–х и более уравнений может оказаться плохо обусловленной даже, если ни одна из плоскостей не располагается почти параллельно к другой плоскости.

Методы численного решения систем линейных уравнений подразделяются на два типа: прямые (конечные) и итерационные (бесконечные). Прямые методы могут в принципе дать точное решение (с точностью до ошибки округления), если оно существует, с помощью конечного числа арифметических операций. Итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций, приводящих к точному решению. Т.е. при использовании итерационных методов появляется ошибка ограничения, отсутствующая в прямых методах. Из последнего не следует, что прямые методы всегда наиболее точные. Все зависит от ошибок округления и ограничения.