Постановка задачи. Тема 6.4. Численное интегрирование

Тема 6.4. Численное интегрирование

6.4.1. Постановка задачи

6.4.2. Метод прямоугольников

6.4.3. Формула трапеций

6.4.4. Формула Симпсона

6.4.5. Оценка погрешности численного интегрирования

6.4.6. Технология вычисления интегралов в среде математических пакетов

6.4.6.1. Технология вычисления интеграла в среде системы MathCad

6.4.6.2. Технология вычисления интеграла в среде системы MatLab

6.2.7. Тестовые задания по теме «Численное интегрирование»

Постановка задачи

Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Если первообразную функцию F(x) не удается выразить аналитически через элементарные функции или если при проведении практических расчетов подынтегральная функция f(x) задается в виде таблицы, то это приводит к необходимости замены аналитического интегрирования численными методами.

Для функции f(x), заданной в прямоугольной системе координат на интервале [a; b], этот интеграл численно равен площади, ограниченной кривой f(x), осью Ox и двумя ординатами ac и bd.

Рис. 6.4.1-1

Задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определенного интеграла через ряд значений подынтегральной функции y_i=f(x_i), заданной в точках x_i (i=0, 1, …, n). Причем, x₀ = a, x_n = b. Чаще всего интервал разбивают на подынтервалы длинойh = x_i+1 - x_i.

Применительно к однократному интегралу, формулы численного интегрирования представляют собой квадратурные формулы вида:

гдеA_i – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, аx_i – точки из отрезка - узлами квадратурной формулы, n > 0 – целое число.

Искомый определенный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:

На каждом i -м отрезке функция аппроксимируется (заменяется) некоторой другой легко интегрируемой функцией g_i(x). В результате получаем следующую квадратурную формулу:

.

Для решения поставленной задачи подынтегральную функцию f(x) необходимо заменить приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Р(х) с узлами интерполяции в точках х₀, х₁, х₂, …, х_n. В этих точках значения функции и интерполяционного полинома полностью совпадают f(x_i) = Р(x_i).

Для получения простых формул интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Очевидно, что замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла

где I₁ – точное значение интеграла, I – значение интеграла, вычисленного численным методом, а – погрешность метода.

Отметим, что увеличение числа подынтервалов n (или уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.