Приближенное вычисление определенных интегралов.

Лабораторная работа №3

Задание.

1. Изучить теоретические сведения о численном вычислении определенных интегралов и их приложениях.

2. Изучить методы вычисления определенных интегралов в MathCAD.

3. Используя MathCAD вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями (см. пример 1) и координаты центра тяжести пластины (см. пример 2). Варианты заданий.

4. Подготовить ответы на вопросы к защите.

5. Отчет по лабораторной работе оформляется в электронном (хранить в ЛИЧНОЙ папке на сервере университета, желательно в каталоге ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА) и бумажном вариантах (сдается в конце семестра преподавателю). Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы:

1) тема лабораторной работы;
2) теоретический материал (не более двух страниц А4);
3) постановка задачи;
4) решение поставленной задачи (распечатка);
5) анализ полученных результатов;
6) вывод.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Номер варианта	Вычислить площадь, ограниченную кривыми	Вычислить координаты центра тяжести пластины плотности g=1, ограниченной линиями
	x = y 2 – 2 y; x + y = 0
	y = 2 – x; y 2 = 4 x + 4	y=x2; y=2x2; x=1; x=2
	y 2 = 4 x – 4; y 2 = 2 x (извне параболы)	y 2 = x; x 2 = y
	3 y 2 = 25 x; 5 x 2 = 9 y
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y2=x; x2=y
	x=4-y2; x+2y-4=0	y=
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1; x=2
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x
	x=4-y2; x+2y-4=0
	x=y2-2y; x+y=0
	y=2-x; y2=4x+4
	y2=4(x-1); x2+ y2=4 (извне параболы)
	y=2-x; y2=4x+4	y=x2; y=2x2; x=1; x=2
	y2=4x-4; y2=2x (извне параболы)	y2=x; x2=y
	x=y2-2y; x+y=0	y=
	y=2-x; y2=4x+4
	3y2=25x; 5x2=9y
	x=y2-2y; x+y=0
	y2+2y-3x+1=0; 3x-3y-7=0
	y=4x-4x2; y=x2-5x	y=x2; y=2x2; x=1; x=2
	x=4-y2; x+2y-4=0	y2=x; x2=y

О ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ

Пусть требуется вычислить определенный интеграл на интервале [ a; b ].

Далеко не всегда задача может быть решена аналитически. В частности, численное решение требуется в том случае, когда подынтегральная функция задана таблично. Для численного интегрирования подынтегральную функцию аппроксимируют какой-либо более простой функцией, интеграл от которой может быть вычислен. Обычно в качестве аппроксимирующей функции используют полином. В случае полинома нулевой степени метод численного интегрирования называют методом прямоугольников, в случае полинома первой степени – методом трапеций, в случае полинома второй степени – методом Симпсона. Все эти методы являются частными случаями квадратурных формул Ньютона-Котеса.

Итак, в методе трапеций подынтегральную функцию аппроксимируют полиномом первой степени, то есть прямой линией. Это значит, что вместо площади криволинейной трапеции мы будем искать площадь прямоугольной трапеции. Приближенное значение интеграла равно

Погрешность этой формулы равна .

Обозначим , где . Смысл введенного обозначения станет ясен несколько позже.

Оценку значения интеграла можно сделать более точной, если разбить интервал на n частей и применить формулу трапеций для каждого такого интервала

.

Если разбить интервал на две части, то есть уменьшит шаг в два раза , то оценка для величины интеграла будет иметь вид

В данном случае суммирование включает только один элемент. Обратите внимание, в новую оценку вошла старая оценка. Нам потребовалось определять значение функции только в новых узлах.

Если имеется 2 ⁿ подынтервалов, то

Если n =0, то

Если n =1, то

Если n =2, то

Вообще, справедливо рекуррентное соотношение

Полученное соотношение называют рекурсивной формулой трапеций и часто применяют для вычисления определенных интегралов. Преимущество этой формулы состоит в том, что при увеличении числа подынтервалов функцию нужно вычислять только во вновь добавленных точках. К сожалению, с помощью этой формулы нельзя получить сколь угодно точное значение интеграла. Во-первых, при увеличении числа разбиений объем вычислений стремительно возрастает; во-вторых, на каждом шаге накапливается ошибка округлений. Для дальнейшего уточнения значения интеграла можно сделать следующий шаг – экстраполировать полученную последовательность значений на случай бесконечного числа точек или что то же самое, на случай нулевого шага. Такой подход называется методом Ромберга.

Метод Ромберга заключается в том, что полученные оценки значения интеграла экстраполируют на случай бесконечного числа разбиений (величины шага равной нулю) по рекуррентной формуле

(1)

То есть строится следующий треугольник

R (1, 1)

R (2, 1) R (2, 2)

R (3, 1) R (3, 2) R (3, 3)

R (4, 1) R (4, 2) R (4, 3) R (4, 4)

R (5, 1) R (5, 2) R (5, 3) R (5, 4) R (5, 5),

в котором первый столбец состоит из значений интеграла, полученных при последовательном удвоении числа интервалов. Второй столбец – результат уточнения значений первого столбца по рекуррентной формуле (1). Третий столбец – уточненные значения интеграла на основе второго столбца и т.д.

Формула (1) может быть получена различными способами. Можно, например, воспользоваться методом Невиля. Пусть имеется набор точек . Обозначим полином нулевой степени, проходящий через i -ю точку. Обозначим полином первой степени, проходящий через точки i и i +1. Совершенно аналогично будет означать полином n –1 степени, проходящий через все n точек. Легко убедиться, что

В нашем случае . В качестве выступают . Мы хотим получить значение интеграла в пределе , поэтому .

ПРИЛОЖЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ЗАДАЧАХ
ГЕОМЕТРИИ И МЕХАНИКИ

Площадь области D находится по формуле

Координаты центра масс однородной пластинки (при плотности g = 1) находятся по формулам:

; .

Интегралы , называются статическими моментами пластинки относительно осей Ox и Oy, m – масса пластины равна .

Статическими моментами относительно осей Ох и Оу материальной точки Р (х, у) массы m_p называются величины M_x (P) и M_y (P) соответсвенно, определяемые равенствами M_x (P) = m_py, M_y (P) = m_px.

Статическим моментом системы точек называется сумма статических моментов точек, ее образующих.

Центром тяжести однородной пластины называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной пластины, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей пластины относительно той же оси.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ В MATHCAD

Результат численного интегрирования ‑ это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=0.001. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить большее значение TOL.

При вводе в редакторе MathCAD оператора численного интегрирования, вы, фактически, создаете самую настоящую программу, большая часть которой скрыта от вашего взора. В большинстве случаев об этом не приходится специально задумываться, можно полностью положиться на MathCAD. Но иногда может потребоваться умение управлять параметрами этой программы, как мы уже рассмотрели на примере выбора константы TOL. Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:

1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.

Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые, как показано на рис., флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

В MathCAD 2001 запрограммированы четыре численных метода интегрирования:

- Romberg (Ромберга) - для большинства функций, не содержащих особенностей;

- Adaptive (Адаптивный) - для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;

- Infinite Limit (Бесконечный предел) - для интегралов с бесконечными пределами;

- Singular Endpoint - для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Старайтесь оставить выбор численного метода за MathCAD, установив флажок AutoSelect (Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.

Если подынтегральная функция " хорошая", т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро и не обращается на нем в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов.

Для вычисления определенного интеграла необходимо выбрать знак интеграла из палитры или набрать его нажатием клавиши &. После этого следует вписать пределы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования. Mathcad успешно справляется с большинством интегралов, в том числе, с несобственными. Точность вычислений регулируется встроенной переменной TOL. По умолчанию ее значение установлено . Ниже приводится несколько примеров успешного вычисления несобственных интегралов, интеграла от быстро осциллирующей функции и интеграла от ступенчатой функции.

Здесь

Зависимость результата от заданной точности вычислений представлена ниже

Для этого примера результат может быть получен также в символьном виде. Для этого вместо знака равенства необходимо нажать знак символического равенства Ctrl+.

В то же время в некоторых случаях несобственные интегралы вычисляются неправильно.

Хотя очевидно, что

ПРИМЕР 1 (ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ)

Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями x = 4 y – y ² и x + y = 6.

Изобразим данные линии на координатной плоскости (в дальнейшем абзац, выделенный вертикальной линией слева, есть листинг MathCAD):

x ₁(y): = 4 y – y ²

x ₂(y): = 6 – y

Найдем точки пересечения графиков, т.е. решим систему

Начальные приближения:

x: = 0

y: = 0

Создаём систему:

Given

x = 4 y – y ²

x + y = 6

Решение системы:

Minerr(x, y) =

Получена координата правой точки пересечения. Для поиска левой точки изменим начальные приближения:

Начальные приближения:

x: = 0

y: = 5

Создаём систему:

Given

x = 4 y – y ²

x + y = 6

Решение системы:

Minerr(x, y) =

Находим с помощью формулы площадь.

ПРИМЕР 2 (ВЫЧИСЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ)

Вычислить координаты центра тяжести пластины, которая ограничена кривыми y ² = 4 x + 4 и y ²= ­– 2 x + 4.

Изобразим данные кривые на координатной плоскости и найдем точки пересечения

Указанным в примере 1 образом находим точки пересечения графиков. В данном случае получим (0; –2) и (0; 2).

Находим массу пластины:

Находим статические моменты относительно осей Ох и Оу:

И последнее, находим координаты центра тяжести:

ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ

1. Приближенные вычисления определенного интеграла (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона).

2. Статический момент.

3. Центр тяжести.

4. Момент инерции.

5. Какие методы интегрирования запрограммированны в MathCad?

6. Что необходимо сделать для ускорения вычислений в MathCad?

7. Основные идеи метода Ромберга.