Конденсатордың периодты, тербелмелі разрядталуы.

Егер Осы шарт орындалса, сипаттамалық тең деудің тү бірлері комплекстік тү йіндес болады.:

Бұ л жағ дайда тізбектегі ө тпелі ү рдіс периодты (тербелмелі) сипатта болады. Еркін кернеу жә не еркін ток мына тү рде жазылады:

.

А мен φ бастапқ ы шарттар арқ ылы табамыз: t=0 кезінде U₀=Asinφ; 0=α sinφ -ω ₀cosφ, бұ дан tgφ = ω ₀/α, sinφ = ω ₀/√ α ²+ω ₀²= ω ₀√ LC; .

А мен φ мә ндерін тең деуге қ ойсақ, онда ө тпелі кернеу мен ө тпелі ток:

Бұ л тең деулер разрядталу тербелмелі сипатта болатындығ ын кө рсетеді. Тербелістің бұ рыштық жиілігі ω ₀, ал периоды . T₀, f₀ - ө шетін тербелістің периоды мен жиілігі деп аталады.

Тербеліс амплитудасы біртіндеп, e^{-α t} заң дылығ ы бойынша азаяды да, нө лге ұ мтылады.

Тербелістің ө шу жылдамдығ ын бір период ө ткенде амплитуданың қ анша есе азаятындығ ын кө рсететін ө шу декременті арқ ылы сипаттайды:

Логарифмдік ө шу декременті:

Конденсатордағ ы кернеу мен тізбектегі токтың ө згерісін сипаттайтын қ исық тар 49 – суретте қ ө рсетілген.

R, L, C тізбекті тұ рақ ты кернеуге U қ осқ ан жағ дайды конденсатордың апериодты разрядталуымен салыстырсақ, ондағ ы еріксіз ток сол кү йінде, нө лге тең қ алпында қ алады, ал конденсатордағ ы еріксіз кернеу нө лге тең емес. Ол U кірістік кернеуге тең. Келесі айырмашылық u_Cерк(0)=-U тең болғ андығ ында, яғ ни А₁ жә не А₂ еселеуіштерінің таң балары керісінше ө згеретін болады. Осыларды ескерсек, онда тү бірлер нақ ты жә не ә ртү рлі болғ ан кезде ө тпелі кернеу мен ток:

.

u_C, i, u_L қ исық тары 50-суретте кө рсетілген.

Ө тпелі ү рдісті клссикалық тә сілмен есептеу мынадай негізгі операциялардан тұ рады:

1.Тізбектің тармақ тарындағ ы токтардың оң бағ ыттарын таң дау;

2. Токтар мен кернеулердің коммутацияғ а дейінгі мә ндерін анық тау;

3.Сипаттамалық тең деу қ ұ ру жә не оның тү бірлерін анық тау;

4.Токтар мен кернеулердің уақ ытқ а тә уелді ө згерісін сипаттайтын ө рнектер алу.

Сипаттамалық тең деу қ ұ рудың оң ай жолы- тізбектің комплекстік кірістік кедергісіндегі jω -ны p-ғ а айырбастап, алынғ ан ө рнекті нө лге тең естіру. Сонан кейін алынғ ан тең деуден p-ны табамыз.

Негізгі ә дебиет: 1 [68-79].

Қ осымша ә дебиет: 5 [372-384], 6 [244-250]

Бақ ылау сұ рақ тары:

1.Сипаттамалық тең деудің тү бірлерінің тү рлеріне байланысты R, L, C тізбегіндегі ө тпелі ү рдістердің сипаты қ алай анық талады?

2.Конденсатордың апериодты разрядталуын сипаттаң ыз.

3. Конденсатордың апериодты разрядталуының шектік жағ дайына тү сініктеме берің із.

4.Конденсатордың периодты(тербелмелі) разрядталуын сипаты қ андай?.

5.Тармақ талмағ ан R, L, C тізбегін тұ рақ ты кернеуге қ осу кезіндегі ө тпелі ү рдістерді сипаттаң ыз.

№9 дә ріс. Ө тпелі ү рдісті есептеудің операторлық тә сілі. Лаплас тү рлендірулері негізгі қ асиеттері жә не қ арапайым функциялардың бейнелері. Жіктеу теоремасы.

Қ арастырылғ ан классикалық тә сіл негізінен дифференциалдық тең деулерді шешуге негізделген. Бұ л тә сілдің қ иындығ ы жалпы жағ дайда бірнеше рет алгебралық тең деулер жү йесін шешіп, бастапқ ы шарттар бойынша интегарал тұ рақ тыларын анық тау жә не функцияның бастапқ ы мә ндерін, туындыларын табу болып табылады. Дифференциальдық тең деудің дә режесінің жоғ арлауы тізбектің кү рделі болуына байланысты, сондық тан есептің шығ арылуы да қ иындай тү седі.

Классикалық тә сілге тә н қ иындық тар ө тпелі ү рдісті есептеудің операторлық тә сілінің кең тарауына себеп болды Операторлық тә сілде дифференцалдау операциясын кө бейтумен, ал интегралдау операциясы бө лу амалымен айырбасталынады. Бұ л тә сіл Лапластың тү рлендірулеріне негізделген.

Операторлық тә сілді қ олданғ анда айнымалысы нақ ты болатын уақ ыттық функцияны (тү пнұ сқ аны) айнымалысы комплекстiк болатын функциясымен (бейнемен) ауыстырады.

Операторлық бейне мен тү пнұ сқ а (оригинал) Лаплас тү рлендiруiмен байланысқ ан:

функциясы Дирихле шартын қ анағ аттандыруғ а тиiстi, яғ ни кез келген шектi уақ ыт аралығ ында функция ү здiксiз болуғ а тиiстi жә не шектi санды максимумдерiне жә не минимумдерiне ие болуғ а тиiстi. бейнеден тү пнұ сқ ағ а ө ту Лаплас тү рлендiруi кө мегiмен iске аса алады:

мұ нда -оператор нақ ты бө лiгi.

Сө йтiп, тү рлендiру нә тижесiнде қ ос бiрмә ндiлiктi лайық тылық алынады:

Кө птеген функциялар ү шiн осындай лайық тылық тар табылып, олар кестеге жазып толтырылады.

Операторлық ә дiстi қ олдану кезiнде интеграл-дифференциалдық тең деулер жү йесi тү пнұ сқ ағ а қ атысты алгебралық тең деулер жү йесiмен, олардың бейнесiмен ауыстырылады. Сө йтiп, iздестiрiлетiн дифференциалдық тең деу жү йесiне алгебралық тең деулер сейкес келеді. Осыдан операторлық ә дiстiң артық шылығ ының айқ ындығ ы шығ ады.

Алынғ ан алгебралық тең деулер жү йелерiн шешу нә тижесiнде, ө тпелi процестiң iздестiрiлетiн электрлiк шамалары – токтардың жә не кернеулердiң бейнесiн табады. Содан соң керi тү рлендiру кө мегiмен немесе арнайы кесте кө мегiмен iздестiрiлетiн уақ ыттық функцияны табылады.

Электр тiзбектерiне талдау жасау ү шiн Лаплас тү рлендiруiнiң ең қ ажеттi қ асиеттерiн қ арастырамыз.

Сызық ты интеграл-дифференциалдық тең деулерді шешу Лаплас тү рлендiруiн қ олдануғ а, сызық тық қ асиетiне жә не уақ ыттық аймағ ына қ атысты дифференциалдау жә не интегралдау операцияларын тү рлендiруге негiзделген. Сызық тық қ асиетi келесi тү рде жазылады:

мұ ндағ ы а – тұ рақ ты коэффициенті,

яғ ни тү пнұ сқ аны (оригиналды) тұ рақ ты шамағ а кө бейткенде, сондай-ақ бейне де осы шамағ а кө бейтiледi, ал тү пнұ сқ алардың қ осындыларыларының бейнесі тү пнұ сқ алардың бейнелерінің қ осындысына тең.

Тұ пнұ скаларды дифференциалдау жә не интегралдау (t – аймағ ында) операциясына олардың бейнелерiн кө бейту жә не бө лу сияқ ты қ арапайым операция лайық ты (p - аймағ ында):

мұ ндағ ы - кезiндегі функцияның бастапқ ы мә нi.

Лаплас тү рлендiруiнiң қ асиетi тiзбектер теориясына операторлық функциялар (кедергiлер жә не ө ткiзгiштiктер) жә не тiзбектiң операторлық берiлiстiк функциялары тү сiнiгiн енгiзуге мү мкiндiк бердi. Бұ л кезде операторлық тү рде электр тiзбегiнiң орынбасу сұ лбасын қ ұ ру мү мкiн болады екен, ал сол бойынша, тү пнұ сқ алар (оригиналдар) ү шiн интеграл-дифференциалдық тең деулер қ ұ рылады.

Операторлық ә дiсiпен кү рделi электр тiзбектерiн есептеу кезінде ә рдайым кестелiк формулаларғ а келтiру мү мкiн бола бермейдi.

Белгiлi бейне бойынша тү пнұ сқ аны iздестiрiп табу ү шiн Лапластың керi тү рлендiруiн пайдалану қ иын мә селенiң бiрi болуы мү мкiн. Осындай жағ дайларда жiктеу теоремасын пайдаланады.

Iздестiрiлетiн функцияның (тоқ тың немесе кернеудiң) операторлық бейнесi тiзбектер теориясында рационал бө лшек тү рiнде ө те жиi кездеседi:

, мұ ндағ ы жә не - ә ртү рлi p дә режелi кө пмү шелер.

Бейнеден уақ ыттық функцияғ а ө ту келесi формула кө мегiмен жасалады:

мұ ндағ ы - тең деу тү бiрлерi

Сө йтiп

÷ .

Бұ л формула жiктеу теоремасы деп аталады.

Егер:

мұ нда қ ұ рамында ә зiрше нө лдiк тү бiр жоқ. тү бiрлерi нө лге тең емес ә ртү рлi тү бiрлерiне ие деп ұ йғ арып келесi жазу тү рiн аламыз:

÷ .

Егер тү бiрi комплекстi тү йiндес болса, онда: .

Негізгі ә дебиет: 1[120-131].

Қ осымша ә дебиет: 5[396-402, 409-417], 6 [278]

Бақ ылау сұ рақ тары:

1.Операторлық тә сілді қ олданудың қ андай артық шылық тары бар?

2.Лаплас тү рлендіруінің негізгі қ асиеттері жә не қ арапайым функциялардың бейнелері туралы тү сініктеме берің із.

3 Белгілі бейне бойынша тү пнұ сқ аны қ алай анық тайды?

4.Рационалды бө лшек тү рінде бейнелеу жә не жіктеу теоремасын қ олдану туралы не білесіз?.