Диференціальна геометрія і топологія

Бердянський державний педагогічний університет

Інститут фізико-математичної і технологічної освіти

Освітньо-кваліфікаційний рівень – бакалавр

Напрям підготовки – 6.040201

Спеціальність – Математика Семестр – 5

Програма до навчальної дисципліни

Диференціальна геометрія і топологія

1. Поняття векторної функції скалярного аргументу. Нескінченно мала векторна функція. Границя векторної функції.

2. Перша квадратична форма поверхні.

3. Поняття диференційованої векторної функції. Поняття похідної векторної функції в точці. Приклади диференційованих функцій векторного аргументу.

4. Дотична площина і нормаль.

5. Правила диференціювання векторних функцій.

6. Гладкі поверхні. Дотична площина і нормаль.

7. Поняття дотичної до кривої. Теорема про напрямний вектор дотичної до кривої в точці.

8. Використання першої квадратичної форми поверхні.

9. Обчислення довжини дуги. Довжина дуги s(t) гладкої лінії як зростаюча функція параметра t.

10. Обчислення кривизни і скруту кривої.

11. Природна параметризація лінії. Поняття природного параметра. Одиничний вектор дотичної до гладкої ліній в природній параметризації.

12. Відшукання канонічного репера кривої. Кривизна та скрут кривої.

13. Приклади обчислення довжини дуги в природній параметризації.

14. Формули Френе.

15. Поняття вектора кривизни. Поняття кривизни лінії в точці. Поняття радіуса кривизни.

16. Друга квадратична форма поверхні.

17. Теорема про необхідну і достатню умову того, щоб зв’язана лінія була найпростішою. Поняття головної нормалі лінії в точці.

18. Перша квадратична форма поверхні і пов’язані з нею питання теорії поверхонь.

19. Обчислення кривизни кривої лінії в довільній параметризації.

20. Поняття дотичної площини до поверхні в деякій її точці.

21. Одиничний вектор головної нормалі лінії в точці. Поняття бінормалі лінії в точці.

22. Дотична поверхня і нормаль до прямого гелікоїда.

23. Одиничний вектор бінормалі лінії в точці.

24. Твердження про стичну площину, головну нормаль і скрут плоскої лінії.

25. Поняття канонічного (рухомого) репера лінії в точці.

26. Гвинтова лінія як результат складного руху точки в просторі.

27. Координатні площини рухомого репера: стична площина, нормальна площина, спрямна площина.

28. Обчислення скруту кривої лінії в довільній параметризації.

29. Поняття скруту лінії в точці.

30. Головна нормаль гвинтової лінії.

31. Формули Френе. Поняття плоскої лінії.

32. Криволінійні координати на поверхні. Рівняння прямого гелікоїда.

33. Формули Френе для плоскої лінії.

34. Друга квадратична форма поверхні і пов’язані з нею питання теорії поверхонь.

35. Теорема про дотичну площину.

36. Обчислення кута між лініями в їх спільній точці.

37. Кривизна і скрут звичайної гвинтової лінії.

38. Лінії Бертрана.

39. Канонічний репер кривої.

40. Використання першої квадратичної форми поверхні.

41. Умови ортогональності координатної сітки на поверхні.

42. Обчислення довжини дуги.

43. Поняття координатних ліній на поверхні.

44. Задача про коло і його головні нормалі.

45. Поняття нормалі до гладкої поверхні в деякій її точці.

46. Знаходження ріння дотичної площини і нормалі до гладкої поверхні в деякій її точці.

47. Криві Бертрана. Приклади кривих Бертрана.

48. Рівняння дотичної площини і нормалі до гладкої поверхні в деякій її точці.

49. Поняття кута між лініями.

50. Поняття гладкої поверхні.

51. Теорема про достатню умову того, що лінія плоска.

52. Обчислення кривизни і скруту в довільній параметризації. Гвинтова лінія.

53. Дотична площина і нормаль до поверхні.

54. Поняття гладкої поверхні.

55. Кривизна лінії в точці. Канонічний (рухомий) репер лінії в точці.

56. Векторна функція скалярного аргументу.

57. Скрут лінії в точці.

58. Дотичної до кривої. Довжина дуги кривої.