Билет 13 бинарные отношения

Характеристическое свойство некоторого подмножества Р декартова произведения ExF (т.е. РÍ ExF) называется бинарным отношением f между элементами множеств Е и F и обозначается afb, где а єЕ, b єF. Если же E = F, то f называется бинарным отношением во множестве Е.

Областью определения s (внизу f) бинарного отношения f между элементами a єE, b єF называется подмножество множества Е, каждый элемент a єE связан бинарным отношением f хотя бы с одним элементом b єF

Областью значений r (внизу f) бинарного отношения f между элементами a єE, b єF называется подмножество множества F, с каждым элементом b єF связан бинарным отношением f хотя бы один элемент a єE

s (внизу f) ={ a єE | b єF: afb }

r (внизу f)= {bєF| aєE: afb}

Бинарное отношение f между элементами множеств Е и F

Множества Е и F могут совпадать. Тогда мы можем элементы множества Е обозначить точками, то есть ввести бинарные отношения во множестве Е

бинарные отношения на чертеже обозначаются линиями со стрелками, эти линии называются графами.

Билет 14. Основные свойства бинарных отношений.
1). Рефлексивность – бин.отн.рефлекс., если оно удовлетворяет условию рефлексивности, т.е.для а из множ-ва М справедливо утвержд. аfа.Пример: отнош-я ≤ и ≥ рефлексивны, т.к.имеют место условия: а≤ а; а≥ а)
2). Иррефлексивность (антирефлексивность) – бин.отн.антирефлексивно, если условие аfа ложно.Пример: отнош. < и > антирефл., т.к. а> a и a< aложны.

3). Симметричность – бин.отн.симметрично, если справед. услов. симм-ти аfb ó bfa.Пример: f-отнош.равноправия.Если а имеет те же права, что и b, а b-те же, что и а, это озн., что отн.f сим.

4). Антисимметричность-бин.отн.антисим., если вып.усл.асим-ти: аfb & bfa=> a=b.Отн.≥ и≤ антисим., т.к.а ≤ b & b≤ a=> a=b; a≥ b & b≥ a=> a=b.

5). Ассиметричность-бин.отн.ассим., если вып.усл.ассим.: afb=> bfa.Пример: отн. < и > ассим., т.к. a< b => b> a; a< b => b< a

6). Транзитивность-бин.отн.транз., если оно удовл.усл.транзитивности: afb & bfc => afc.Пример: 1)f – отнош. «быть старше».Оно транзитивно, т.к. если а старше b, а b старше с, то а старше с. 2)f – отнош. «быть знакомым», оно нетранз: (а знаком с b) & (b знаком с с) => (а знаком с с).

Билет 15. Отношения эквивалентности и порядка.
Бинарные отношения называются отношениями эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. «~»

Если в некотором множестве задано отношение эквивалентности, то элементы этого множества разбиваются на классы эквивалентности. Произв-й элемент а, отн. к этому классу называется представителем класса эквивалентности. [a]f Множество всех классов эквивалентности называется фактором множества. (M|f)

Бинарные отношения f во множестве E называется отношением некоторого порядка или отношением строгого порядка если, если оно рассмотрено, или иррефлексивно (соотв. 1му и 2му), антисимметрично (нестр.), или ассиметрично (по отношению к стр.), транзитивно (и к стр. и к не стр.)

Отношения ≥, ≤ дают нестрогий порядок.
Отношения >, < дают строгий порядок во множестве вещественных чисел.

Отношения порядка дают возможность упорядочить множество, т.е. определить предшествующие и последующие элементы.

Билет 16. Отображения.
Бинарное отношение f между элементами множеств E и F называется отображением множества E во множество F (они могут совпадать), если область задания этого бинарного отношения ό f совпадает по всем множествам Е. (f: Eà F)

Отображением f множества У во множество А называется правило по которому каждому элементу множества E сопоставляется 1 или несколько элементов множества F.

Если элемент х, принадлежащий множеству Е, допоставляется совокупности элементов f(x) называется полным образом элемента х, а каждый элемент этой совокупности называется просто образом элемента х.

Если при отображении f множества E во множество F с элементом “y” (yЄF) сопоставляется совокупность элементов F^-1(y) ЄE, то эта совокупность называется полным прообразом элемента y, а каждый элемент этой совокупности называется прообразом элемента “y”.

Если отображение f: Eà F (f такое, что множество Е отображается во множестве F) является таким, что каждый элемент “x” (x принадлежит E), принадлежащий 1му множеству сопоставляется с одним и только одним элементом ‘y’ из множества F (y принадлежит F), то отображение f называется однозначным, а в противном случае многозначным.

f: VxЄEà yЄF

Если f – однозначное отображение множества Е во множество F, то бинарное отношение f^-1 называется обратным по отношению к f.

Ϭ f^-1=F, то f^-1 – обратное отображение.