Метод матричной прогонки

Запишем разностную схему (9.14) в виде:

U_{m+1 n} - 2U_{m n} + U_{m-1 n}+a (U_{m n+1}-2U_{m n}+U_{m n-1} )=h²f(x_m, y_n), (9.15)

m=1, 2, …, M-1; n=1, 2, …, N-1;

U_0n=j(0, y_n); U_mn=j(a, y_n); n=1, 2, …, N-1

U_m0=j(x_m, 0); U_mn=j(x_m, b); m=1, 2, …, M-1, где a=h²/l² > 0.

Введем обозначение:

U_m =(U_{m 1,} U_{m 2, …,} U_{m N-1})^T, m=1, …, M. (9.16)

Положим в формулах (9.15) n=1, 2, …, N-1 и, используя (9.16), запишем систему уравнений (9.15) в векторной форме:

U_m+1+AU_m+U_m-1=f_m , m = 1, 2, …, M-1 (9.17)

U₀=j₀; U_M=j_a ,

где A – трехдиагональная матрица порядка M-1 c диагональным преобладанием, т. к. |1+a|> |a|, a> 0.

A = ,

f_m = , j₀ = , j_a = .

Задача (9.17) аналогична задаче в п.9.3.3, отличие состоит лишь в том, что она имеет векторную форму. Предполагаем, что между соседними значениями векторов этого решения U_m существует связь

U_k=R_kU_k+1+S_k, k=0, 1, …, M-1, (9.18)

где R_k – это матрицы, S_k – векторы.

При k=0 R₀=0 U₀ = j₀, S₀=j₀ - задано. Возьмем k=m-1, запишем (9.18), подставим в (9.17), затем опять преобразуем к виду (9.18). Получим соотношения для вычисления матриц и векторов

U_m = -U_m+1 (A + R_m-1 )^-1 +(f_m - S_m-1 ) (A + R_m-1)^-1, m=1, 2, …, M-1.

Вычислим матрицы R_k = - (A + R_k-1)^-1 и векторы S_k= R_k (S_k-1-f_k), для k=1,.., M-1. Что позволит, используя данное значение вектора на границе U_M=j_a, вычислить последовательно искомые значения вектора решения по формуле

U_m = R_mU_m+1 + S_m, для m=M-1, M-2, …, 1.

Задание:

1. Методом матричной прогонки найти приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном квадрате с вершинами в точках A(0; 0), B(0; 1), C(1; 1), D(1; 0) (h=0, 2).

Варианты

№	U|AB	U|BC	U|CD	U|AD
	30y	30(1-x2)
	20y	30сos()	30cos()	20x2
	50y(1-y2)			50sin(px)
	20y		20y2	50x(1-x)
		50x(1-x)	50y(1-y2)	50x(1-x)
	30sin(py)	20x	20y	30x(1-x)
	40y2			40sin()
	30y2	30(1-x)		40x2(1-x)
		50sin(px)	50y(1-y2)
	20 sin(py)	30x	30y	20x(1-x)
	30cos()	20x(1-x)	25y(1-y2)	30(1-x2)
	10 y2(1-y)	30sin(px)		15x(1-x2)
	25y	25(1-x2)	30 (1-y)

Список литературы:

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобелькова. – М.: Наука, 1987.

2. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука. 1973.

3. Годунов С. К. Разностные схемы./ С. К. Годунов, С.В. Рябенький. – М.: Наука, 1973.

4. Калиткин Н. Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

5. Самарский А. А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989.

6. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений. / А. А. Самарский, Е.С. Николаев. – М.: Наука, 1978.

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………3

Тема 1. Элементы теории погрешностей. 4

Задания. 6

Варианты.. 6

Тема 2. Интерполирование. 10

Задания. 15

Варианты функций. 15

Тема 3. Численное интегрирование. 16

Задания. 20

Варианты.. 20

Тема 4. Решение трансцендентных (нелинейных) уравнений. 22

Задания. 28

Варианты уравнений. 28

Тема 5. Решение спектральной задачи. 28

Задания. 32

Варианты матриц. 32

Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 33

Задания. 43

Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. 44

Задания. 46

Варианты.. 46

Тема 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. 47

Задания. 52

Варианты заданий. 53

Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 54

Задание. 62

Варианты.. 62

Подписано к печати “_______” 2004 г. Печать офсетная. Бумага газетная.

Усл. печ. л. ___. Тираж 150 экз. Заказ № ______

Кемеровский госуниверситет. 650043 Кемерово, ул. Красная, 6

Отпечатано в издательстве «Кузбассвузиздат». Кемерово, ул. Ермака, 7.