Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод вращения






Любую действительную, симметричную матрицу A можно привести к виду A = UDU –1 , где U – ортогональная матрица (U –1 = U T ),

D – диагональная матрица,

где λ i – собственные значения матрицы A.

Следовательно, имеем U –1AU = D.

На этом свойстве матрицы основан метод вращения: если некоторым ортогональным преобразованием V свести матрицу A к диагональной: , то собственные значения матриц совпадают.

Таким образом, нужно построить последовательность ортогональных преобразований, позволяющих неограниченно уменьшать модули недиагональных элементов матрицы A. Обозначим . Пусть с помощью преобразования подобия ортогональными матрицами построена последовательность матриц. При этом если , то процесс является монотонным.

Итак, по заданной матрице A будем строить последовательность Ak так, чтобы Ak -1 находилась через Ak при помощи преобразования подобия со следующей матрицей вращения:

Пусть нашли . Найдем . Пусть это будет , k < l (i, j = 1, …, m), и выбираем угол по формуле

.

Строится ортогональная матрица Vn, которая отличается от единичной матрицы E только элементами:

,

,

и делается преобразование подобия

.

При этом матрицы A ( n -1) и Vn A ( n -1) = B отличаются лишь k –й и l – й строками, т. к. эти матрицы B являются линейными комбинациями тех же строк матрицы A ( n -1):

,

.

Аналогично k –й и l -й столбцы матрицы A ( n ):

,

.

Элементы являются приближенными к собственным числам λ i матрицы A, а столбцы матрицы

являются приближенными к собственным векторам матрицы A. При этом имеет место оценка погрешности

.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.