Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод скалярных произведений






Рассмотрим задачу отыскания максимального по модулю собственного значения матрицы А. По определению собственные значениями квадратной матрицы A называются числа, удовлетворяющие соотношению

Ax= λ x, (5.1)

где x - собственный вектор. Собственный вектор xi (i=1, …, n), соответствующий собственному значению λ i, является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений

(A – λ E) x = 0.

Пусть матрица A размерности m´ m имеет полную систему нормированных собственных векторов еi (I=1, …, m), т. е. || еi ||= 1, и пусть

| λ 1 | > | λ 2 | ³ … ³ | λ m | ³ 0.

Зададим вектор

.

Будем последовательно вычислять векторы по итерационной формуле

xn+1 =Axn.

Тогда xn можно записать следующим образом:

.

Представим это равенство в виде

xn =c1λ ne1 +o(|λ |n).

Тогда имеем

(xn, xn) =| c1|2 | λ 1 |2n + o(|λ 1|n2|n).

(xn+1, xn) = λ 1| c1|2 | λ 1 |2n + o(|λ 1|n2|n).

Находим:

,

 

при этом

λ = λ + O .

В процессе итераций при n , || x || , если | λ |> 1, || x || 0, если | λ | < 1, поэтому всегда найдется такое n, что в ЭВМ произойдет АВОСТ, если (при | λ |< 1) x станет нулем. Чтобы этого не случилось, рекомендуется использовать следующий алгоритм:

e = ,

x =Ae ,

λ ,

где . Итерационный процесс прекращается, когда будет выполнено условие: | λ (n) - λ (n-1)| ≤ ε.

В случае действительной симметричной матрицы все собственные значения действительны, а отношение задает приближенное значение собственного вектора.

Иногда причиной плохой сходимости итераций может быть то, что начальное приближение x(0) оказалось ортогональным собственному вектору, соответствующему максимальному по модулю собственному значению. В этом случае рекомендуется сменить начальное приближение.

Для нахождения минимального собственного значения матрицы А, найдем матрицу B= (A - λ 1E) и применим для нее итерационный процесс для нахождения максимального по модулю собственного значения | λ 1(B) |.

Если λ 1(A) > 0, то, очевидно, что λ i (B)= λ i (A)- λ 1 (A)0, i=1, 2, …, m. Поэтому λ 1(B)= min(λ i(A) - λ 1(A))= min λ i(A) - λ 1(A), то есть minλ i (A)= λ 1(A)+λ 1(B).

Если λ 1(A) < 0, то max λ i(A)=min λ i(A)+ λ 1(B).






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.