Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Квадратурные формулы. Пусть для функции y=f(x)требуется вычислить интеграл J(f)= .






Пусть для функции y=f (x)требуется вычислить интеграл J(f) = .

Выбрав шаг h= , разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей: x0=a, xi=x0+ih (i=1, 2, …, n-1), xn=b и пусть yi=f (xi)(i=0, 1, 2, …, n), p(x) = 1.

Построим, например, полином Лагранжа:

f (x)≈ L n (x) = +R n (x).

Заменяя функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом, получим квадратурную формулу

,

где Ai - некоторые постоянные коэффициенты, не зависящие от функции f (x), а зависящие лишь от расположения узлов сетки xi.

Для формулы трапеции (n =1) p(x)=1, A0=A1=1/2.

= (y0+y1).

Остаточный член формулы трапеции равен:

R= - (y0+y1) = ,

где ξ (x0, x0+h).

Обобщенная формула трапеции для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке, запишется так:

,

где R (h) = , М2= .

Формула Симпсона при n =2 и p(x)=1. Интерполирование функции выполняется по трем ее значениям. A0=1/6, A1=2/3, A2=1/6 или, так как x2-x0=2h,

 
 

(y0+4y1+y2).

Остаточный член формулы Симпсона равен

R= - (y0+4y1+y2) = ,

где ξ (x0, x2).

 

Обобщенная формула Симпсона для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и четного числа шагов, имеет вид:

,

где R (h) = , М4= .

Приведем формулу «трех восьмых» для вычисления определенного интеграла на равномерной сетке и числа шагов, кратного трем:

,

где R (h) = , М4= .

Задание. Вывести обобщенную формулу трапеции , заменив подынтегральную функцию f (x)линейным интерполяционным многочленом

f (x) =yi+ (yi+1-yi)

на каждом отрезке [ xi, xi+1 ] (i=0, 1, …, n-1), а формулу Симпсона получить, заменив подынтегральную функцию f (x)квадратичным интерполяционным многочленом

f (x) =yi+ (yi+1-yi)

на каждом отрезке [ xi, xi+2 ] (i=0, 2, 4, …, n-2).

 
 

Самостоятельно получить формулы прямоугольника из вида площади на графике (рис.3.3). Вывести отдельно левую, правую и центральную формулы и их погрешности.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.