Примеры решения задач. Задание 1.Определите оптимальный для потребителя объем блага Х, если известны функции общей полезности от обладания этим благом:

Задание 1. Определите оптимальный для потребителя объем блага Х, если известны функции общей полезности от обладания этим благом:

1) U(x)=1-2x²;

2) U(x)=5+x-x²

3) U(x)=x²-x³

Решение:

Максимум удовлетворения полезности соответствует количеству блага Х, при котором предельная полезность равна нулю, то есть выполняется условие:

MU_x = . Следовательно:

1) U^’(x)=-4x=0, x =0

2) U^’(x)=1-2x=0, x=0, 5

3) U^’(x)=2x-3x²=0, x₁=0, x₂=2/3.

Задание 2. Двухпродуктовая корзина потребителя включает потребление основного блага х и прочих благ- у. Функция полезности потребителя определена как стандартные предпочтения U(x, y)=x^1/4y^3/4. Сумма месячного дохода на потребление этого набора составляет 10 000 руб. Определите:

а) оптимальный набор потребителя при соотношении цен: Р_х=400 руб., Py=100руб.

b) Эффект замещения и эффект дохода после того, как цены на товар Х выросли до 500 руб. а на товар У остались прежними.

Решение:

Данная задача может решаться традиционным путем, а также методом долей.

Традиционный метод предполагает, что оптимальное решение покупателя соответствует условию, когда предельная норма замещения (MRS_xy) пропорциональна соотношению цен(). Для функции полезности со стандартными предпочтениями (U=x^аy^b) верно выражение:

, где

a и b коэффициенты степенной эластичности блага х и у в функции полезности. Следовательно

, или

y=12x

Если данное соотношение подставить в уравнение бюджетных ограничений, то можно определить количественные значения x и у, при данном соотношении цен и неизменном доходе:

400 x +12 x *100=10 000

x₁=6, 25 ед.

y ₁=75 ед.

При установлении нового соотношения цен, когда P_x^’=500 руб., измениться благосостояние покупателя. Под действием закона спроса он станет приобретать меньше относительно более дорогого блага Х. Эти изменения могут быть представлены эффектом замещения и эффектом дохода.

Эффект замещения (∆ Xsub) означает изменение структуры потребления в пользу более дешевого товара. В нашем случае это товар У.

∆ Xsub =X₂ –X_{1 ,} где Х₂ –это количество блага после изменения цен. Эффект замещения определяется в условиях неизменной полезности(U=const) и при новом соотношении цен

U₁=U₂= x^1/4y^3/4=

x^1/4=

x =

В то же время новый оптимум после изменения цен соответствует условию:

или

x= = y₂=79, 3 x₂=5, 3

∆ Xsub =X₂ –X₁=5, 3 -6, 3= -1 ед.

Эффект дохода - это изменение реального дохода покупателя вследствие изменения цен.

∆ Xin =X₃ –X₂ где Х₃ –это количество блага после изменения цен при условии прежнего денежного дохода-10 000руб.

Как было установлено раньшеx= ,

Следовательно = 500*х+15х*100=10000

X₃=5 ед., У₃=15*5=75 ед.

∆ X =X₃ –X₂=5-5, 3=0, 3 ед.