II. Типовые задачи с решениями. Задача 1. Найдите ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований, если

Задача 1. Найдите ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований, если

Решение. Применив элементарные преобразования, приводим данную матрицу к треугольному виду:

Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (–1), (–8), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья получена из второй путем прибавления второй строки к третьей.

Ранг последней матрицы равен трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. , а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю. Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем.

Ответ: rangA = 3.

Задача 2. Вычислите методом окаймляющих миноров ранг матрицы

Решение. Очевидно, что матрица В имеет ненулевые миноры первого и, по крайней мере, второго порядка:

Максимальный порядок минора матрицы В равен 4. Следовательно,

Составим и вычислим последовательно миноры третьего порядка, окаймляющие найденный минор второго порядка.

Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго порядка, равны нулю, значит, ранг матрицы В равен 2.

Ответ: rangB = 2.

Задача 3. Определите с помощью теоремы Кронекера-Капелли совместность систем и решите их:

а) б)

Решение.

а) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид:

Найдем ранг этой системы, приводя ее матрицу к ступенчатому виду:

Ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы и равен 2, значит, система совместна, но так как ранг основной матрицы меньше числа неизвестных (n = 3), то множество ее решений является бесконечным.

В матрице минор , ему соответствует система уравнений , в которой и – базисные неизвестные, – свободная неизвестная. Выразим и через , получим:

Ответ: , где – любое действительное число.

б) Основная расширенная матрица данной системы имеет вид:

Найдем ранг этой системы:

Ранг основной матрицы равен двум, а ранг расширенной – трем, следовательно, система несовместна.

Ответ: система несовместна.