Цилиндрические и сферические координаты

Теперь обратимся к наиболее употребительным цилиндрическим и сферическим координатам и запишем их с помощью уравнений (Б.18), (Б.19), и (Б.20).

1. Цилиндрические координаты. q₁=r, q₂=φ q₃=z; υ ₁=υ _r, υ ₂=υ _φ , υ ₁=υ _z (рис. Б.3)

Рис. Б.3

При этом декартовы координаты связаны с цилиндрическими формулами: х₁ =r cos φ, x₂ = r sin φ, x₃=z (х₁= х, х₂=у, х₃=z).

По формулам (Б. 8) легко найти, что Н₁ = 1, H₂=г, H₃=1. Подставляя эти значения H_i, в (Б. 18), (Б. 19), (Б.20) соответ­ственно будем иметь:

Уравнение неразрывности

(Б.21)

Уравнение динамики в проекции на оси координат

(Б.22)

, (Б.22')

; (Б.22'')

Уравнение теплопроводности

(Б.23)

Рис. Б.4

2. Сферические координаты. Рассмотрим сферическую систему координат на земле, направив ось г по радиусу Земли, θ —угол до­полнения к широте, λ — долгота (рис. Б.4). В этом случае q₁= r, q₂= θ, q₃= λ, υ ₁= υ _r, υ ₂= υ _θ , υ ₃= υ _λ . При данном выборе коорди­нат ω _λ =0, ибо угловая скорость вращения Земли перпендикуляр­на широтным кругам.

Из рисунка ясно, что х = r sin θ cos λ, у=r sin θ sinλ, z=r cosθ По формуле (Б. 8) находим, что Н₁ = 1, Н₂=г, Нз=r sinθ. Тогда уравнения (Б. 18'), (Б. 19) и (Б. 20) соответственно за­пишутся в виде:

; (Б.24)

, (Б.25)

(Б.25')

(Б.25'')

(Б.26)