Ортогональные координаты

При аналитическом описании физических явлений, как пра­вило, используется координатный метод. Выбор системы коорди­нат носит, в известной мере, субъективный характер. Поэтому естественно поставить вопрос, во-первых, о математической формули­ровке какой-либо физической задачи, выраженной в самой общей инвариантной форме, независящей от системы координат; и, во-вторых, о переходе от обобщенной записи к конкретной с использованием той координатной сетки, которая наиболее целе­сообразна при решении поставленного вопроса.

Ниже мы приведем основные сведения, касающиеся методов записи уравнений в инвариантной форме и способов их преобразо­вания при переходе от одной координатной системы к другой. При этом основное внимание будет уделяться наиболее употребитель­ным в практике ортогональным системам координат.

Наиболее часто используются декартовы косоугольные или прямоугольные координаты (х, у, z)=(х₁, х₂, х₃). Однако, наряду с ними, широко применяются криволинейные координаты q₁, q₂, q₃ (переход к криволинейным координатам производится с целью упрощения рассматриваемой задачи, так как за счет их удачного выбора можно упростить уравнения или уменьшить число аргументов. Например, при наличии осевой симметрии вводят цилиндрические координаты, получая двумерную задачу, так как рассматриваемое явление не зависит от угла порота). Криволинейные координаты однозначно связаны с декартовыми,

т. е.

q₁ = q₁ (x₁, x₂, x₃); q₂ = q₂ (x₁, x₂, x₃); q₃ = q₃ (x₁, x₂, x₃)

и обратно

x₁ = x₁(q₁, q₂, q₃); x₂ = x₂(q₁, q₂, q₃); x₃ = x₃(q₁, q₂, q₃)

Условие q₁ = const определяет координатную поверхность. Ясно, что координатные поверхности, соответствующие одной и той же координате, не пересекаются между собой. Наоборот поверх­ности, отвечающие q_i = const и q_j = const, пересекаясь образуют координатную линию q_k = const. Каждая точка пространства фик­сируется как результат пересечения трех координатных поверх­ностей или двух координатных линий. В качестве примера ука­жем, что в цилиндрической системе координат (R, φ, z) коорди­натными поверхностями являются:

R = const — круговой цилиндр,

φ = const — полуплоскость,

z = const — плоскость перпендикулярная оси z, а координатные линии:

R = const, φ = const — прямая,

φ = const, z = const — прямая,

R = const, z = const — окружность.

Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямо­угольной системе координат может быть представлен как

= x₁ +x₂ +x₃ x_i (Б.1)

где — орты.

Радиус-вектор любой точки пространства в декартовой прямоугольной системе координат может быть представлен как

+ , (1)

где - орты.

Расстояние между двумя близкими точками соответственно запишется в виде

. (2)

Перейдя к ортогональной криволинейной системе координат q_1, q₂, q₃, мы можем рассматривать как диагональ элементарного криволинейного параллелепипеда, образованного координатными поверхностями.

Если ds_j (j = 1, 2, 3) есть длины ребер, то

, (3)

где – орты рассматриваемой системы координат.

Величины ds_j можно записать через координаты dq_j, введя коэффициенты пропорциональности H_j, называемые параметрами Ламе. Тогда

. (4)

Теперь вместо (3) будем иметь выражение

. (5)

Дифференцируя (5) по каждой из координат, получим

.

Возведем в квадрат обе части последнего равенства. Это равносильно скалярному умножению левой и правой частей уравнения на себя, т.е.

.

Или, поскольку e_j – орты, то .

Поэтому

. (6)

В свою очередь, продифференцировав (1), приходим к соотношению

.

Откуда

. (7)

Подставляя (7) в (6), находим

или

. (8)

Элемент поверхности с учетом (4) можно записать в виде

. (9)

Элемент объема :

. (10)