Силы, действующие в жидкости на вращающейся Земле. Центростремительное ускорение. Ускорение Кориолиса.

В дальнейшем будем отно­сить эти силы к единице массы (т. е. пользоваться значениями ускорений).

На рисунке невозможно выдержать правильное соотно­шение величин этих двух сил, так как центробежная сила слишком мала по сравнению с силой тяжести.

Рис. 1

Действительно, величина центробежного ускорения определяется известной формулой

С = υ ²_пер

r_φ

где v_пер —переносная скорость, а r_φ — расстояние частицы до зем­ной оси.

Так как земля вращается вокруг своей оси с постоянной угло­вой скоростью

ω = 2π

T (1)

где Т — сутки, то на расстоянии r_φ от оси переносная скорость равна ω r_φ . Величина же r_φ , как видно из рис. 1, равна r_φ = r cosφ (r - расстояние частицы от центра земли). Учитывая все это, формулу для центробежного ускорения можем написать так:

C = ω ² r cosφ. (2)

Значение ω вычисляется по формуле (1) и равно ω =7, 29∙ 10^-5 1/сек. В дальнейшем величина угловой скорости вращения земли ω будет

встречаться очень часто, и ее числовое значение нужно твердо за­помнить.

Поскольку основная масса атмосферы заключена в нижнем 20 — 30-км слое, то расстояния воздушных частиц от центра земли, как правило, лишь незначительно отличаются от среднего радиуса земли (а) r ≈ a = 6370 км.

Максимальное значение центробежного ускорения в этом слое атмосферы достигается, как видно из формулы (2), у экватора и составляет 3, 4 • 10^-2 м^г/сек, т. е. приблизительно одну треть про­цента от ускорения земного притяжения. С увеличением широты центробежное ускорение и убывает и соответственно величина уско­рения силы тяжести G возрастает.

Действие силы тяжести определяет форму поверхности миро­вого океана и в большой мере также форму поверхности суши. Очевидно, что при отсутствии морских течений поверхность моря должна быть всюду перпендикулярна к направлению силы тяжести (иначе касательная составляющая силы тяжести начнет перемещать водные частицы). Такие поверхности называются поверхностями уровня и приближенно представляют собой эллипсоиды вращения, малая ось которых совпадает с осью вращения земли.

Размеры поверхности уровня, совпадающей с „уровнем моря", таковы: большая полуось (расстояние от центра земли до точки по­верхности моря, расположенной на экваторе) 6378, 4 км, малая полуось (соответственное расстояние до полюса) 6356, 9 км.

Величина ускорения силы тяжести с большой точностью описы­вается эмпирической формулой

g = 9, 80616 — 0, 025928 cos 2φ + 0, 000069 cos² 2φ — 0, 000003086 z. (3)

При исследованиях атмосферных процессов в подавляющем боль­шинстве случаев можно пренебречь зависимостью ускорения силы тяжести от широты и высоты и рассматривать поверхности уровня как сферические, а ускорение силы тяжести как постоянную ве­личину.

Следующей силой, действие которой во многом определяет характер атмосферных движений, является отклоняющая сила, связанная с вращением земли вокруг земной оси. Напомним, что частица, вращаю­щаяся вместе с землей (переносное движение) и одновременно имеющая некоторую скорость V относительно земли, испытывает, кроме центростремительного ускорения ω ²r_φ и относительного ускорения dV

dt

еще ускорения от следующих причин:

а) различия переносных скоростей в пунктах, которые пересе­кает частица в своем относительном движении;

б) изменения направления относительной скорости (поворота
траектории), вызываемого переносным движением.

Расчеты показывают, что каждое из этих ускорений равно векторному произведению угловой скорости вращения на относи­тельную скорость. При этом вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в сторону, с которой вращение представляется происходящим против часовой стрелки (для случая вращения земли — к северному полюсу).

Сумма этих двух ускорений представляет собой ускорение Кориолиса. Переменив знак (переходим от ускорения к силе по прин­ципу Даламбера), получаем для отклоняющей силы вращения зем­ли F_K, отнесенной к единице массы воз­духа, выражение

F_K= -2 [ω V]. (4)

Переходя к рассмотрению поверх­ностных сил, напомним, что эти силы характеризуют взаимодействие некото­рого выделенного объема воздуха и окру­жающей среды.

Рис. 2

Если σ - поверхность, ограничиваю­щая объем воздуха, то силу, действую­щую на этот объем извне со стороны ча­стиц, прилегающих к элементу поверх­ности dσ с нормалью п, будем обозначать вектором p_ndσ (рис. 2). Индекс п указывает на то, что величина и направление вектора р_п зависят от направления внешней нормали к данной площадке, а также, конечно, от положения точки N, находящейся в центре пло­щадки dσ, к которой можно отнести силу р_п.

Силу, с которой частицы жидкости, заключенные внутри объема τ, действуют на внешние частицы, прилегающие к dσ, можно обозна­чить p__ndσ. В силу равенства действия и противодействия нахо­дим, что

p_-n = -p_n (5)

Вращая поверхность σ вокруг точки N, получаем бесконечное число (двухмерный континуум) векторов p_п, характеризующих си­ловое взаимодействие различных частиц воздуха в окрестности точки N. Необходимо поэтому найти соотношения, связывающие значения этих векторов и позволяющие выразить вектор р_п при про­извольном направлении нормали п через минимальное число незави­симых векторов. Для того, чтобы полностью охарактеризовать поверхностные силы в некотором пункте, достаточно определить силы, действующие на три взаимно перпендикулярные площадки.

Важным свойством поверхностных сил является то, что их нормальные составляющие, как правило, во много раз превосходят касательные составляющее. Кроме некоторых исключительных слу­чаев, действующие поверхностные силы всегда на­правлены внутрь объема. При этом если нормальные составляющие

сил р_х, р_у, р_z, (р_хх, р_уу, р_zz) равны друг другу (рассматриваемая элементарная масса жидкости испытывает равномерное давление со всех сторон) и постоянны во времени, а касательные составляющие равны нулю, то объем, заполненный некоторой элементарной массой жидкости, практически не деформируется в процессе движения, как бы велико ни было значение поверхностных сил.

Если же нормальные напряжения не равны друг другу, то можно определить давление как среднее из этих трех величин, взятых с обратным знаком (так как поверхностные силы направлены внутрь объема, то их проекции на внешние нормали к площадкам отри­цательны):

p = p_xx+p_yy+p_zz

3 (7)

Если вычесть силы давления из действующих поверхностных сил, т. е. рассмотреть величины

p_xx + p, p_xy, p_xz

p_yx,, Р_уу+p, p_уz (8)

p_zх, pzу, pzz +p

то эти девять величин оказываются пропорциональными коэффи­циенту вязкости жидкости и вызываемым рассматриваемыми силами скоростям деформации. Будем обозначать эти величины буквой σ с соответствующими индексами (например σ _xх= p_xх + p, σ _xy = p_xy и т. д.) и называть вязкими напряжениями.