Физический смысл взаимосвязи завихренности и циркуляции

Предположим, что в поле вектора скорости имеется поверхность σ, натянутая на некоторый контур . Если во всех точках этой поверхности вектор определен и непрерывен вместе со своими частными производными, то справедлива теорема Стокса, которую можно перефразировать по отношению к скорости. Именно:

При этом ориентация нормалей к поверхности связана с ориента­цией контура правилом правого винта.

Или, используя общепринятое обозначение :

(1.2.16)

Если взять малые и , то, воспользовавшись тео­ремой о среднем из (1.2.14), получим

В пределе

(1.2.17)

т.е.

Таким образом, мы убеждаемся, что наличие циркуляции по бесконечно малому контуру ∆ l > 0, связано с наличием потока вихря через площадку ∆ σ → 0, выражаемого величиной ∆ Г и ∆ σ. Или, в предельном случае, наличием Ω _п. в рассматриваемой точке.

Для того, чтобы дать физическое истолкование связи между циркуляцией и потоком вихря, рассмотрим произвольную поверх­ность σ, ограниченную контуром l. Разобьем эту поверхность на малые площадки ∆ σ, ограниченные элементарными контурами dl, которые мы будем считать ориентированными так же, как и кон­тур l. В этом случае

(1.2.18)

где dГ — циркуляция по контуру, ограничивающему площадку dσ.

Действительно, как видно из рис.1.27, линейные интегралы по общим участкам соседних контуров будут иметь одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки. Поэтому при суммировании циркуляции по всем элементарным контурам в результате останутся лишь линейные интегралы по участкам, лежа­щим на контуре l, сумма которых дает =Г.

Таким образом, можно констатировать, что наличие циркуляции обусловлено завихренностью жидкости или, иначе говоря, враще­нием жидкости в каждой точке с угловой скоростью .

Рис. 1.27

Применим формулу (1.2.16) к вычислению циркуляции ско­рости в примерах. В примере 1 ротор скорости направлен от чертежа к читате­лю и по модулю равен 2 а. Беря за поверхность σ плоскость кон­тура АВСDА и учитывая, что нормали к поверхности σ по на­правлению будут совпадать с , получаем

В примере 2 на поверхности, не принадлежащей ядру. Поэтому

Легко видеть, что этой же величине будет равна циркуляция по любому контуру, охватывающему ядро вихря.

Наконец, в примере 3 ротор скорости направлен вглубь чер­тежа и по модулю равен k. Поэтому

Как видно, с помощью теоремы Стокса мы пришли к тем же результатам, что и при непосредственном вычислении циркуляции скорости.