Циркуляция в плоском движении

В приведенных выше при­мерах рассматривалась циркуляция скорости в ряде конкретных случаев плоско-параллельного движения, причем брались контуры, лежащие в плоскости движения. Установим важное для дальней­шего свойство циркуляции при плоском движении; в случае плоско-параллельного движения циркуляция скорости по любому контуру равна циркуляции скорости по проекции этого контура на плоскость движения.

Для доказательства представим элемент контура в виде вектор­ной суммы:

+ где представляет собой составляющую элемента , лежащуюв плоскости движения, а — составляющую, перпендикулярнуюк этой плоскости (рис.1.24). Тогда .

Второй интеграл правой части равен нулю, так как во всех точках контура .В первом интеграле берется в точках кон­тура, в то время как пред­ставляет собой элемент проек­ции контура на плоскость движения.

Но так как в слу­чае плоско-параллельного дви­жения во всех точках прямой, перпендикулярной к плоскости движения, скорость имеет одну и ту же величину, то представляет собой скорость в соответствующих точках контура и, следовательно:

,

или

,

что и нужно было доказать.

Рис. 1.24

Из доказанного положения следует, в частности, что циркуляция скорости по любому контуру, лежащему в плоскости, перпен­дикулярной к плоскости движения, будет равна нулю.

Ускорение циркуляции (1 теорема Томпсона)

Будем называть жидким контуром непрерывный ряд одних и тех же частиц жидкости, образующих замкнутую линию, на кото­рой задано направление обхода (ориентация). Во время переме­щения эта линия деформируется (растягивается или укорачивает­ся), но можно показать, что в непрерывном скоростном поле она все время остается замкнутой. Приращение тех или иных величин при элементарном перемещении вдоль контура, положение кото­рого в некоторый момент зафиксировано, будем обозначать бук­вой δ. В соответствии с этим циркуляция скорости по контуру в данный момент времени определяется выражением

При движении жидкости циркуляция скорости по данному жидкому контуру будет меняться. Это будет происходить как за счет изменения каждого элемента δ l длины контура, его растя­жения или укорачивания, так и за счет изменения , поскольку меняется модуль вектора и наклон вектора по отношению к эле­менту контура. Это видно из рис. 1.25, где показано положение контура в два последовательных момента времени t₁ и t₂. Субстанциональная производная

, (1.2.14)

т. е. приращение циркуляции скорости по жидкому контуру при перемещении контура за единицу времени, условно называется ускорением циркуляции.

Наряду с вектором скорости в каждой точке потока в данный момент времени можно определить вектор ускорения соответствую­щей частицы и тем самым выделить поле ускорения. При этом цир­куляция ускорения по контуру в данный момент времени опреде­лится выражением