Циркуляция вектора скорости.

Пусть в поле вектора проведена замкнутая кривая l, не пересекающая саму себя и не содержащая особых точек. Будем называть ее конту­ром l, если дополнительно задано направление обхода, т. е. ориентация кривой. В каждой точке контура определен вектор и, следовательно, его проекция на .

Циркуляцией вектора по контуру называется криволинейный интеграл от проекции вектора на контур, т. е. . Он считается положительным, если направление интегрирования совпадает с ориентацией контура, и отрицательным, если контур ориентиро­ван противоположно. (Положительная ориентация соответствует случаю, когда внешняя нормаль при обходе остав­ляет контур слева).

Выражение для циркуляции, согласно определению, может быть записано в одной из следующих форм:

Соответственно, циркуляция вектора скорости:

(1.2.13)

Примеры определения Г.

Чтобы нагляднее понять смысл Г можно представить себе, что с контуром совпадает лента, на ко­торой имеется большое число лопастей (рис. 1.21). Если циркуля­ция скорости положительна, то лопасти будут двигаться в на­правлении ориентации контура; если же она отрицательна, то лопасти будут двигаться в на­правлении, противоположном ориентации контура.

Рис. 1.21

Пример 1. Поток представ­ляет собой вихрь с радиусом ядра и угловой скоростью вращения жидкости в ядре а, причем вращение происходит против часовой стрелки (рис. 1.22).

Найдем циркуляцию скорости по контуру АВСDА, лежащему внутри ядра и ограниченному двумя дугами АD и ВС, радиусы ко­торых , и отрезками АВ и DС радиусов, угол между ко­торыми равен α.

Рис.1.22

Направление обхода контура полагаем про­тивоположным движению часовой стрелки.

На участках АВ и СD , так как здесь вектор скорости перпендикулярен к пути интегри­рования, на участке ВС , на участке DА посколь­ку в последнем случае скорость направлена по касательной в сто­рону, противоположную направле­нию обхода. Таким образом,

Если изменить ориентацию контура, т. е. производить обход в направлении движения часовой стрелки, то циркуляция изменит знак, сохранив свою абсолютную величину.

Пример 2. Найдем в том же потоке циркуляцию скорости но контуру l, представляющему собой окружность радиуса r₅, охва­тывающую ядро и обходимую в направлении, противоположном часовой стрелке:

Пример 3. Линии тока представляют собой прямые, параллельные оси Ох причем величина скорости меняется по закону (рис. 1.23) Найдем циркуляцию скорости по контуру АВСDА, где AB=CD=m, AD=DC=n

Рис. 1.23

Поскольку на участках BC и DA , а на участке CD

Таким образом,