Тензор скоростей деформации.

Скорости и перемещения точек жидкой частицы. Тензор скоростей деформации. Физический смысл его компонент. Инварианты тензора скоростей деформации

Теорема Гельмгольца (1): скорость точки сплошной среды, принадлежащей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых: скорости полюса, скорости точки во вращательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс А, с угловой скоростью ω = ½ Ω = ½ rot υ, и скорости деформации

υ _д = grad F. Скорость деформации является потенциальным вектором, где F – квадратичная функция. Проекция вектора υ

υ _дx = ε _xxξ + ε _xyη + ε _xzζ

υ _дy = ε _yxξ + ε _yyη + ε _yzζ (1.2.1)

υ _дz = ε _zxξ + ε _zyη + ε _zzζ

.

Скорость деформации связана с таблицей ε, которая симметрична:

. (1.2.2)

Эта таблица определяет тензор второго ранга. Его всегда можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Симметричный тензор второго ранга называется тензором скоростей деформаций.

Докажем тензорный характер величин ε _ik.. Имеем равенство

υ _в = υ _А + ½ Ω × ρ + grad F.

υ _в, υ _А – векторы, Ω × ρ – произведение псевдовектора Ω на вектор ρ – также вектор. Следовательно, υ _д – тоже вектор. Рассмотрим υ _д∙ ρ. Это произведение – скаляр, инвариант (проекция υ _д на ρ, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как υ _д = grad F, имеем

υ _д∙ ρ = ∂ F ∙ ξ ₁ + ∂ F ∙ ξ ₂ + ∂ F ∙ ξ ₃

∂ ξ ₁ ∂ ξ ₂ ∂ ξ ₃

Но F (ξ ₁, ξ ₂, ξ ₃) – однородная функция второй степени. По теореме Эйлера об однородных функция можно записать υ _д∙ ρ = 2F. Таким образом, F – инвариант, не зависящий от системы координат.

Если рассмотреть две системы координат и взять за старые координаты

ξ ₁, ξ ₂, ξ ₃, а за новые - ξ ′ ₁, ξ ′ ₂, ξ ′ ₃, выразить старые координаты через новые и сделать некоторые преобразования, получим

ε ′ _mn = Σ ³_{i = 1}Σ ³_{j = 1}ε _ij α _mi α _nj – формула преобразования компонент тензора второго ранга при переходе от одной системы координат к другой.

С тензором скоростей деформации связана квадратичная форма F. Всегда можно ввести такие координаты ξ ₁, ξ ₂, ξ ₃, в которых квадратичная форма примет вид F = ε ₁ ξ ²₁ + ε ₂ ξ ²₂ + ε ₃ ξ ²₃. В этих координатах тензор скоростей деформаций будет

.

Оси, в которых тензор имеет такой вид, называются главными осями тензора скоростей деформаций, величины ε ₁, ε ₂, ε ₃ – главными скоростями деформаций. Известно, что ε ₁, ε ₂, ε ₃ являются корнями кубического уравнения.

- λ ³ + І₁λ ² – І₂λ + І₃ = 0

ε _i – инварианты, инвариантами должны быть и коэффициенты I₁, I₂, I₃. Эти коэффициенты называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций.

Тензор ε, при помощи которого в каждой точке жидкости, может быть определено поле скоростей деформационного движения элементарного жидкого объема, заключающего внутри себя точку, в которой тензор задан, как уже известно, носит название тензора скоростей деформации, а отдельные величины таблицы – его компонент. Компоненты ε _xx, ε _yy, ε _zz – называются диагональными, остальные - недиагональными.

Выражения для компонент скорости деформации имеют вид (1.2.1). Скорость деформации υ _д будет определена для любой точки (при известных ξ, η, ζ) частицы, если задана таблица (1.2.2). Выясним физический смысл величин ε _ik – компонент тензора скоростей деформаций. Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть ε _xx ≠ 0, все остальные ε _ik = 0. В этом случае тензор

(1.2.3)

Диагональные элементы тензора скоростей деформаций – относительные скорости равномерного растяжения элементарного объема вдоль координатных осей.

2. Пусть ε _xy = ε _yx ≠ 0, все остальные ε _ik =0. Тогда

(1.2.4)

Недиагональные элементы тензора имеют смысл скорости скашивания угла между отрезками, направленными параллельно осям координат.

В общем случае деформацию элементарного объема можно представить как суперпозицию деформаций растяжений (сжатий) относительно трех координатных осей и деформаций сдвига. Если тензор скоростей деформаций отнести к главным осям ξ, η, ζ, общая деформация частицы может быть представлена как деформация растяжения относительно трех главных осей деформации. Но если тензор нулевой в главных осях, то он будет нулевым и во всех других осях. В этом случае и все инварианты тензора ε равны нулю.