Пространственный источник. Плоский источник. Вращение жидкости как твердого тела. Безвихревое вращение жидкости. Изолированныйвихрь.

Рассмотрим ряд примеров описания движения по методу Эйлера, причем поле скорости будем устанавливать в результате схематизации действительной картины движения.

1. Пространственный источник. Представим себе, что в малень­кий полый шарик, в котором по направлению радиусов просверле­ны отверстия, по тонкой трубке под давлением непрерывно подает­ся несжимаемая жидкость в количестве Q единиц объема в еди­ницу времени (рис. 1.8, а). Упрощая явление, будем полагать, что истечение происходит из одной точки и картина движения совер­шенно симметрична относительно этой точки (рис. 1.8., б).

Рис. 1.8

Такой поток называется пространственным источником, точка А, на ко­торой происходит истечение, называется центром источника, вели­чина Q называется интенсивностью источника.

Из условия симметричности движения очевидно, что векторы скорости направлены по лучам, исходящим от центра. Чтобы определить модуль скорости на расстоянии r от центра, окружим его воображаемой сферической поверхностью радиуса r. Легко, видеть, что через единицу площади этой поверхности за единицу времени проходит объем, равный v единиц объема, а через всю поверхность 4π r²v единиц. Но через любую поверхность, окружа­ющую центр источника, за единицу времени должен проходить один и тот же объем жидкости, равный интенсивности Q источни­ка, так как в противном случае имело бы место изменение массы жидкости, заключенной внутри поверхности, и, в конечном счете, изменение плотности, что противоречит условию несжимаемости.

Таким образом, , т.е. . Как видно из этого выражения, модуль скорости меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра источника. Поле скорости можно представить в векторной форме, учиты­вая, что скорость коллинеарна с ортом радиуса-вектора:

Введя декартову прямоугольную систему координат с началом в центре источника, из предыдущего равенства получаем:

, ,

Если имеет место не истечение жидкости из точки, а, напротив, втекание в нее, то такой поток называется пространственным сто­ком. В этом случае скорость просто меняет знак.

Из физических соображений ясно, что скорости, а, следователь­но, и линии тока направлены радиально.

2. Плоский источник. Представим себе тонкую прямую трубку, в которую под давлением подается несжимаемая жидкость, выте­кающая из трубки через многочисленные отверстия, равномерно расположенные на ее поверхности (рис. 1.9., а).

Рис. 1.9.

Схематизируя явление, будем представлять себе в пространстве прямую линию, от которой по всем направлениям оттекает несжимаемая жидкость, причем все частицы движутся в плоскостях, перпенди­кулярных к прямой, и картина движения в каждой плоскости (рис. 1.9., б) является симметричной относительно точки А пере­сечения плоскости с прямой. Очевидно, что описанное движение удовлетворяет обоим условиям плоско-параллельности.

Такой поток мы будем называть плоским источником, точку А — центром источника на рассматриваемой плоскости, объем Q жидкости, оттекающей за единицу времени от каждой единицы длины прямой, - интенсивностью источника.

Определим поле скорости плоскости источника. Векторы скорости направлены по лучам, идущим от центра источника. Чтобы определить модуль скорости на расстоя­нии r от центра, представим себе прямой цилиндр, основание ко­торого представляет собой круг радиуса r, лежащий в плоскости движения, а высота равна единице длины. За единицу времени через боковую поверхность этого цилиндра протекает объем жидкости, равный произведению скорости на площадь боковой по­верхности, т. е. 2π rv. В то же время из условия несжимаемости жидкости следует, что эта величина равна интенсивности Q источ­ника. Таким образом, , и т. е. модуль скорости в случае плоского источника меняется обратно пропорционально расстоянию от центра.

Поле скорости можно представить в векторной форме, учиты­вая, что вектор скорости коллинеарен с радиусом-векторомr точ­ки, имеющей начало в центре источника. Тогда

В декартовой системе координат с осями Ох и Оy, лежащими в плоскости движения, будем иметь:

, .

3. Вращение жидкости как твердого тела. Допустим, чтожидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращаетсявокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω. Благодарясилам вязкости жидкость сама будет приведена в состояние вра­щения и, когда процесс стационируется, она будет покоиться отно­сительно сосуда, вращаясь вместе с ним как твердое тело. Подоб­ное движение жидкости будет плоско-параллельным.Скорость частицы жидкости, находящейся на расстоянии r от оси, направлена по касательной к окружности радиуса r в ту или дру­гую сторону в зависимости от направления вращения, а по модулюравнаω r, т. е. растет пропорционально расстоянию от оси(рис.1.10).

Введем декартову систему координат, направив ось Оz по оси вращения. Допустим, что жидкость вращается около оси Оz про­тив часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси. Тогда:

,

,

В векторной форме .

4. Безвихревое вращение жидкости. Допустим теперь, что ча­стицы жидкости движутся по круговым траекториям, как и в пре­дыдущем случае, по в отличие от него скорость движения частиц меняется обратно пропорционально расстоянию от оси, т. е. приудалении от оси убывает позакону , где С — величина, по­стоянная для всехточек данного потока (рис.1.11). Такой тип дви­жения мы будем называть безвихревым вращением. Движение, подобное описанному, можно осуществить, поме­стив в жидкость весьма длинный (по сравнению с поперечнымиразмерами) цилиндр и заставить его вращаться вокруг оси. Тогда частицы жидкости, непосредственно прилегающие к поверхности цилиндра, вследствие сцепления между ними и поверхностью ци­линдра, будут двигаться со скоростью частиц цилиндра. По мере же удаления от оси вращения скорость будет убывать, постепенно приближаясь к нулю.

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Введем систему декартовых координат, направив ось Оz по оси вращения. Тогда с помощью рассуждений, совершенно аналогич­ных тем, которые применялись в предыдущем случае, найдем, что при движении против часовой стрелки

Определим, как дополнительный пример, для этого случаи линии тока. Соответствующее уравнение:

или

После интегрирования получим уравнения семейства окружностей:

Уравнения траекторий в силу стационарности процесса имеют аналогичный вид.

5. Изолированный вихрь. Под этим будем понимать такое вра­щательное движение жидкости, при котором вблизи оси вращения (оси вихря) жидкость вращается как твердое тело, а, начиная с некоторого радиуса z_{0 ,} имеет место безвихревое вращение. Иными словами, при удалении от оси вихря скорость сначала растет пропорционально радиусу: , а, начиная с r=r₀, убывает обратно пропорционально радиусу: (рис1.12). Легко видеть, что при r = r ₀ оба закона изменения скорости должны давать одну и ту же величину υ (r₀), т. е. , откуда

Часть жидкости, вращающая­ся как твердое тело (т. е. огра­ниченная цилиндрической поверх­ностью с радиусом основания r ₀) носит название ядра вихря.

Рис. 1.12

Оче­видно, что движение, рассмо­тренное в предыдущем примере, можно рассматривать как три­виальный случай изолированно­го вихря, у которого радиус ядра равен нулю.

Движение, подобное движению в изолированном вихре, имеет место в атмосфере в тайфунах, торнадо, смерчах.