Численное интегрирование. (Методы левых, правых, средних прямоугольников и метод трапеций)

(Методы левых, правых, средних прямоугольников и метод трапеций)

Постановка задачи:

Необходимо найти интеграл .

Из курса математического анализа известна формула Ньютона-Лейбница:

Функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], однако в большинстве случаев первообразную F(x) для подынтегральной f(x) не удаётся выразить через элементарные функции (т. е. существуют неберущиеся точными методами интегралы). Кроме того подынтегральная функция может быть задана не функцией, а таблицей, поэтому необходимы численные методы интегрирования.

К ним относятся методы прямоугольников (левых, правых и средних), метод трапеций и метод парабол (Симпсона). Метод парабол мы рассматривать не будем.

Из геометрического смысла определённого интеграла следует, что он равен площади (S) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ox.

Заменим данную криволинейную трапецию прямоугольником с шириной b-a и высотой f(a) (метод левых прямоугольников), f(b) (метод правых прямоугольников), f(c) (метод средних прямоугольников).

Метод левых прямоугольников:

Ширина b-a, высота f(a).

Метод правых прямоугольников:

Ширина b-a, высота f(b).

Метод средних прямоугольников:

Ширина b-a, высота f(c).

Для минимизации погрешности, полученной при такой замене фигур, отрезок [a; b] делят на n-равных частей и каждую из частей исходной трапеции заменяют левым, правым или средним прямоугольником.

Метод левых прямоугольников:

Криволинейная трапеция при этом заменена ступенчатой фигурой, площадь (S) которой равна сумме площадей прямоугольников.

x₀=a, n – количество разбиений.

Метод правых прямоугольников:

x_n=b.

Метод средних прямоугольников:

, где

часто обозначают h (шаг интегрирования).

Для метода левых прямоугольников x=x+h.

Для метода правых прямоугольников x=а+h.

Для метода средних прямоугольников .

Метод трапеций:

Идея метода – замена криволинейной трапеции на прямоугольную.

Для минимизации погрешности отрезок [a; b] делится на n-равных частей, а криволинейная трапеция заменяется фигурой, состоящей из n-прямоугольных трапеций, имеющих одинаковые высоты , а основания равны f(x_i).

Тогда

Исходные данные:

Алгоритм решения:

1) Ввод a, b, eps.

2) Задать n=1.

3) Вычисляем I1=metleft(n, a, b);

4) n=n+1.

5) I2=metleft(n, a, b);

6) d=|I2-I1| расстояние между двумя вычисляемыми интегралами

7) Если d> eps,

тогда I1=I2,

идти к 4 шагу

8) Вывод I2, n.

Текст программы:

#include< conio.h>

#include< math.h>

#include< iostream.h>

float f(float x)

{

return (pow(M_E, x)*sin(x*x));

}

float metlev(float a, float b, int n)

{

float h=(b-a)/n, x=a, sum=0;

for(float i=1; i< =n; i++)

{

sum+=f(x);

x+=h;

}

return h*sum;

}

float metprav(float a, float b, int n)

{

float h=(b-a)/n, x=a, sum=0;

for(int i=0; i< n; i++)

{

sum+=f(x);

x+=h;

}

return h*sum;

}

float metsred(float a, float b, int n)

{

float h=(b-a)/n, x=a, sum=0;

for(int i=0; i< n; i++)

{

sum+=f((x+x+h)/2);

x+=h;

}

return h*sum;

}

float mettrap(float a, float b, int n)

{

float h=(b-a)/n, x=a, sum=0;

for(float i=1; i< n; i++)

{

sum+=f(x);

x+=h;

}

sum+=f(a); sum+=f(b);

return h*sum;

}

void main(void)

{

int n=1;

float I1, I2, Eps, a, b;

clrscr(); textmode(2);

cout< < " Integral: pow(M_E, x)*sin(x*x)\n\nVvod a, b, Eps: ";

cin> > a> > b> > Eps;

do

{

I1=metlev(a, b, n);

n++;

I2=metlev(a, b, n);

}

while((fabs(I1-I2)> Eps)& &! kbhit());

cout< < " \nMetod levyx pryamougolnikov\nIteraziy: " < < n< < " \nOtvet: " < < I2;

n=1;

do

{

I1=metprav(a, b, n);

n++;

I2=metprav(a, b, n);

}

while((fabs(I1-I2)> =Eps)& &! kbhit());

cout< < " \n\nMetod pravyx pryamougolnikov\nIteraziy: " < < n< < " \nOtvet: " < < I2;

n=1;

do

{

I1=metsred(a, b, n);

n++;

I2=metsred(a, b, n);

}

while((fabs(I1-I2)> =Eps)& &! kbhit());

cout< < " \n\nMetod srednix pryamougolnikov\nIteraziy: " < < n< < " \nOtvet: " < < I2;

n=1;

do

{

I1=mettrap(a, b, n);

n++;

I2=mettrap(a, b, n);

}

while((fabs(I1-I2)> =Eps)& &! kbhit());

cout< < " \n\nMetod trapeziy\nIteraziy: " < < n< < " \nOtvet: " < < I2;

getch();

}

Скриншот результата программы (при Eps=0, 01):

Результаты работы программы:

Если сравнить результаты интегрирования функции методом левых, правых, средних прямоугольников и методом трапеций, то результаты почти совпадают (схожи).

Скриншот результата программы (при Eps=0, 00001):

Результаты работы программы:

Если сравнить результаты интегрирования функции методом левых, правых, средних прямоугольников и методом трапеций, то результаты почти совпадают (схожи).

Чем меньше Eps, тем больше итераций требуется для достижения результата, и тем точнее он получается.