Аппроксимация табличной функции методом Лагранжа

Постановка задачи:

Пусть величина y является некоторой функцией аргумента x, но её невозможно записать в виде некоторой формулы, или эта формула очень громоздка и трудна в работе, но при этом задана таблица:

				...
				...

Вводим некоторое , .

Необходимо найти приближённое значение этой функции в некоторой точке x.

Аппроксимирующую функцию будем искать в следующем виде:

Для упрощения подсчётов используем таблицу Лагранжа:

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

Исходные данные:

Функция для проверки: y=tg(cos(x)).

Алгоритм решения:

1) Задать N – количество узлов данных (N=8)

2) Задать исходные данные к задаче:

float X[N] = {..,..,..,..,..,..,..,.., };

float Y[N] = {..,..,..,..,..,..,..,.., };

3) Формирование матрицы Лагранжа:

н. ц. i = 0, n

н. ц. j = i+1, n

a_ij = x_i-x_j

a_ji = -a_ij

к. ц. j

к. ц. i

4) Ввод z.

5) Завершение формирования матрицы, заполн. диагональ:

н. ц. i = 0, n

a_ii =z-x_j

к. ц. i

6) Вывести A.

7) Вычисление P:

P=1

н. ц. i=0, n

P=P*a_ii

к. ц. i

8) Вычисление k_i

н. ц. i=0, n

k_i=1

н. ц. j=0, n

k_i=k_i*a_ij

к. ц. j

к. ц. i

9) Вычисление L_n:

10) Вывести L_n.

11) Проверка:

y=f(z)

y ≈ N

Текст программы:

#include< iostream.h>

#include< math.h>

#include< stdio.h>

#include< conio.h>

float *X, *Y, **V;

float *B, p=1, z=2.499;

int n, i, j, k, pr=0;

void init(int q=1)

{

if(q)

{X=new float [n];

Y=new float [n];

V=new float *[n];

for(i=0; i< n; i++) V[i]=new float[n];

B=new float [n];

}

else

{delete[] X;

delete[] Y;

for(i=0; i< n; i++) delete[] V[i]; delete[] V;

delete[] B; }

}

void ex(void)

{

n=8;

pr=1;

init(1);

float X1[8]={0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1, 1.3, 1.5};

float Y1[8]={1.540, 1.414, 1.204, 0.960, 0.716, 0.487, 0.274, 0.017};

cout< < " \nVvod x[8]: ";

for(i=0; i< n; i++)

{

X[i]=X1[i];

printf(" %.1f ", X[i]);

}

cout< < " \n\nVvod y[8]: ";

for(i=0; i< n; i++)

{

Y[i]=Y1[i];

printf(" %.3f ", Y[i]);

}

cout< < endl;

}

void lagr(void)

{

for(i=0; i< n; i++)

for(j=i+1; j< n; j++)

{

V[i][j]=X[i]-X[j];

V[j][i]=-V[i][j];

}

}

void lagr1(void)

{

for(i=0; i< n; i++)

V[i][i]=(z-X[i]);

}

void prbr(void)

{

float h=1;

for(i=0; i< n; i++)

{

for(j=0; j< n; j++)

h*=V[i][j];

B[i]=h;

h=1;

p*=V[i][i];

}

}

float P(void)

{

float s=0;

for(i=0; i< n; i++) s+=(Y[i]/B[i]);

return s*p;

}

void S(void)

{

for(i=0; i< n; i++)

{ cout< < endl;

for(j=0; j< n; j++) printf(" %.3f ", V[i][j]); }

}

void main(void)

{

clrscr();

textmode(2);

cout< < " Vvod 0 "; gotoxy(10, 1); cin> > n;

if(n==0) ex();

else

{

init();

cout< < " Vvod x[" < < n< < " ] ";

for(i=0; i< n; i++)

cin> > X[i];

cout< < " Vvod y[" < < n< < " ] ";

for(i=0; i< n; i++)

cin> > Y[i];

}

lagr();

//S();

cout< < " \nVvod x: "; cin> > z;

lagr1();

prbr();

P();

cout< < " \nf(" < < z< < ")=" < < P();

if(pr) cout< < " \n\nProverka: tg(cos(" < < z< < "))=" < < sin(cos(z))/cos(cos(z));

init(0);

getch();

}

Скриншот результата программы (при x=0, 4):

Результаты работы программы и проверка (проверка говорит о том, что решение правильное):

f(0, 4) = 1, 316353

Если сравнить результаты аппроксимации табличной функции методом неопределённых коэффициентов (методом Вандермонда) и методом Лагранжа, то результаты почти совпадают (можно даже сказать, что совпадают).

Скриншот результата программы (при x=1, 2):

Результаты работы программы и проверка (проверка говорит о том, что решение правильное):

f(1, 2) = 0, 37965