Мета роботи. Розв’язання систем лінійних рівнянь методом виключення Гаусса

Лабораторна робота № 1

Розв’язання систем лінійних рівнянь методом виключення Гаусса

Мета роботи

Вивчення методу Гаусса із частковим вибором головного елемента для практичного розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, придбання навичок використання даного методу для розв’язання систем лінійних рівнянь із застосуванням ЕОМ.

1.2. Методичні вказівки по організації самостійної роботи

По темі лабораторної роботи студент повинен: знати загальне формулювання задачі розв’язання системи лінійних рівнянь; вміти розв’язувати системи лінійних рівнянь методом виключення Гаусса [1 – 4, 6]; уміти застосовувати процедури пакета MathCad для розв’язання систем лінійних рівнянь.

Задача розв’язання системи лінійних рівнянь у загальному вигляді формулюється в такий спосіб: необхідно знайти невідомих , , що задовольняють системі рівнянь:

(1.1)

де , , – задані коефіцієнти при невідомих, , – задані праві частини (вільні члени).

Якщо ввести позначення – матриця розмірності з коефіцієнтами , – вектор-стовпець розмірності з елементами , – вектор-стовпець розмірності з елементами , то систему (1.1) можна записати у вигляді:

(1.2)

Для того, щоб система (1.2) мала єдиний розв’язок необхідно й достатньо, щоб .

Найбільш відомим з методів розв’язання системи (1.1) є метод виключення Гаусса, ідея якого полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь.

Розрахункові формули метода Гаусса:

Позначимо , , ; , .

Прямий хід, -й крок : , , ;

, , .

Зворотний хід: , , .

При ручному рахунку застосовують схему (табл. 1.1 для ).

Таблиця 1.1

Схема ручного розрахунку (метод Гаусса)

Коефіцієнти при невідомих	Вільні члени

Рядки, що містять одиницю, називаються виділеними рядками. Діагональний елемент , на який проводиться ділення, називається головним (ведучим) елементом. Якщо головний елемент близький до нуля за абсолютною величиною, то необхідно знайти у відповідному ( -ому) стовпці максимальний за модулем елемент і переставити рядки місцями так, щоб цей елемент став головним.

Процес одержання виділених рядків (приведення системи до трикутного вигляду) називається прямим ходом, а процес знаходження невідомих шляхом використання виділених рядків – зворотним ходом методу Гаусса.

У пакеті MathCad є процедура , призначена для розв’язання системи рівнянь у матричному вигляді (1.2). Для її виклику необхідно визначити й задати матрицю й вектор , тоді розв’язком є .