Краткие теоретические сведения. Решение прикладных задач, основанных на использовании алгоритмов численных методов вычисления интегралов

Лабораторная работа № 6

Решение прикладных задач, основанных на использовании алгоритмов численных методов вычисления интегралов

Цель лабораторной работы: приобрести навыки решения прикладных задач, основанных на использовании алгоритмов численных методов вычисления интегралов.

Порядок выполнения лабораторной работы

1. Ознакомиться с разделом «Краткие теоретические сведения».

2. Выполнить свой вариант из раздела «Индивидуальные задания».

3. Оформить отчет.

Краткие теоретические сведения

Определенный интеграл от непрерывной функции f(х) ³ 0 в пределах от а до b представляет площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой f (x), осью абсцисс и прямыми х = а, х = b (рисунок 1).

Рисунок 1. Определённый интеграл – площадь криволинейной трапеции

Из курса высшей математики известно, что

где F (x) – первообразная для f (х) на отрезке [а, b], т.е. F¢ (x) = f (х) на отрезке [a, b]. Если f (х) < 0 на отрезке [a, b], то в формуле S < 0, но ç Sç равно площади криволинейной трапеции, находящейся под осью абсцисс.

Однако на практике приведенной формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1) вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2) значения функции f(x) заданы только на фиксированном конечном множестве точек x_i, т.е. функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами нулевой (у = с), первой (у = сх + d) или второй (у = сx² + dх + k) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, называются соответственно методами прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

Пусть требуется приближенно вычислить значение интеграла .В методе прямоугольников (рисунок 2) криволинейная трапеция разбивается на п частей, каждая из которых представляет собой прямоугольник, основание которого равно шагу интегрирования , а длины сторон соответственно Y₀ = f(x₀), Y₁ = f(x₁), Y_n = f(x_n), где x₀ = a, x₁, …, x_n-1, x_n = b – точки деления отрезка [a, b] на n равных частей.

Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от расположения начальной точки x₀ при вычислении площади элементарного прямоугольника. При этом, если за высоту каждого прямоугольника принимается левая ордината (y₀, y₁, y₂…), то вычисление интеграла будет производиться по методу левых прямоугольников; если правая ордината (y₁, y₂, y₃…), то по методу правых прямоугольников; если за высоту принимается середина интервала h, то будет применяться метод средних прямоугольников. Основанием всех прямоугольников будет являться величина шага интегрирования h.

Рисунок 2 — К выводу формул вычисления определённых интегралов

методами прямоугольников.

Тогда при методе левых прямоугольников

,

при методе правых прямоугольников

,

при методе средних прямоугольников

.

Как видно из рисунка 2, первоначальное значение при методе левых прямоугольников , правых — , средних — . Последующие значения будут получаться через операцию присваивания = + h, а элементарные площади S1, S2, …, Sn будут вычисляться по формуле . Сумма этих площадей дает значение интеграла. Изложенное выше реализует алгоритм (рисунок 3), где - значения элементарных площадей, а их сумма S – значение интеграла.

Рисунок 3 — Схема алгоритма вычисления интеграла методом

левых прямоугольников

Более точное значение интеграла получается при вычислении его методом трапеций, когда ординаты y₀, y₁, y₂… y_n подынтегральной функции соединяют отрезками прямых и искомую площадь заменяют суммой площадей трапеций, высотой которых является шаг h, а основаниями и для S₁, и для S₂ (рисунок 2).

Тогда

,

где , а y₀, y₁, y₂ … y_n равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , , …, то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 4, где - значения площадей трапеций, а их сумма S – значение интеграла.

Рисунок 4 — Схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций.

Еще точнее значение интеграла получается при вычислении его методом Симпсона, когда на каждой паре соседних участков ординаты y₀, y₁, y₂; y₂, y₃, y₄; y₄, y₅, y₆… подынтегральной функции соединяют параболами, проходящими через 3 точки, и искомую площадь заменяют суммой площадей криволинейных трапеций.

Тогда

где , а y₀, y₁, y₂ … y_n равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , , …, то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 5, где - значения площадей криволинейных трапеций, а их сумма S – значение интеграла.

Рисунок 5 — Схема алгоритма вычисления интеграла методом Симпсона

Варианты индивидуальных заданий разного уровня

Составить схемы алгоритма и программы на языке Pascal для вычисления заданного интеграла методами прямоугольников (левых, правых, средних) и методом трапеции.

Вычислить аналитически значение заданного определенного интеграла на интервале[a, b]. Сверить полученное значение с результатами вычислений программы.

Проверить работу программ с различными значениями переменной n. Сделать вывод о том, как влияет значение n на результат вычисления интеграла.

Вариант 1		Вариант 16
Вариант 2		Вариант 17
Вариант 3		Вариант 18
Вариант 4		Вариант 19
Вариант 5		Вариант 20
Вариант 6		Вариант 21
Вариант 7		Вариант 22
Вариант 8		Вариант 23
Вариант 9		Вариант 24
Вариант 10		Вариант 25
Вариант 11		Вариант 26
Вариант 12		Вариант 27
Вариант 13		Вариант 28
Вариант 14		Вариант 29
Вариант 15		Вариант 30