Контрольная работа №2

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точка А(x₀; y₀) и вектор а. Найти производную в точке А в направление вектора ā.

1.1. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.2. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.3. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.4. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.5. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.6. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.7. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.8. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.9. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.10. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.11. z=x²+xy+y² A(1; 1), .

1.12. z=2x²+3xy+y² A(2; 1), .

1.13. z=In(5x²+3y²); A(1; 1), .

1.14. z=In(5x²+4y²); A(1; 1), .

1.15. z=5x²+6xy; A(2; 1), .

Задание 2.

Вычислите следующие интегралы:

2.1.1. 2.1.9.

2.1.2. 2.1.10.

2.1.3. 2.1.11.

2.1.4. 2.1.12.

2.1.5. 2.1.13.

2.1.6. 2.1.14.

2.1.7. 2.1.15.

2.1.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.2.1. 2.2.9.

2.2.2. 2.2.10.

2.2.3. 2.2.11.

2.2.4. 2.2.12.

2.2.5. 2.2.13.

2.2.6. 2.2.14.

2.2.7. 2.2.15.

2.2.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.3.1. 2.3.9.

2.3.2. 2.3.10.

2.3.3. 2.3.11.

2.3.4. 2.3.12.

2.3.5. 2.3.13.

2.3.6. 2.3.14.

2.3.7. . 2.3.15.

2.3.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.4.1. 2.4.9.

2.4.2. 2.4.10.

2.4.3. 2.4.11.

2.4.4. 2.4.12.

2.4.5. 2.4.13.

2.4.6. 2.4.14.

2.4.7. 2.4.15.

2.4.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.5.1. 2.5.9.

2.5.2. 2.5.10.

2.5.3. 2.5.11.

2.5.4. 2.5.12. dx

2.5.5. 2.5.13.

2.5.6. 2.5.14.

2.5.7. 2.5.15.

2.5.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.6.1. 2.6. 9.

2.6.2. 2.6. 10.

2.6.3. 2.6.11.

2.6.4. 2.6. 12.

2.6.5. 2.6.13.

2.6.6. 2.6. 14.

2.6.7. 2.6. 15.

2.6.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.7.1. 2.7. 9.

2.7.2. 2.7.10.

2.7.3. 2.7.11.

2.7.4. 2.7.12.

2.7.5. 2.7.13.

2.7.6. 2.7.14.

2.7.7. 2.7.15.

2.7.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.8.1. 2.8.9.

2.8.2. 2.8.10.

2.8.3. 2.8.11.

2.8.4. 2.8.12.

2.8.5. 2.8.13.

2.8.6. 2.8.14.

2.8.7. 2.8.15.

2.8.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.9.1. 2.9. 9.

2.9.2. 2.9.10.

2.9.3. 2.9.11.

2.9.4. 2.9.12.

2.9.5. 2.9.13.

2.9.6. 2.9.14.

2.9.7. 2.9.15.

2.9.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.10.1. 2.10.9.

2.10.2. 2.10.10.

2.10.3. 2.10.11.

2.10.4. 2.10.12.

2.10.5. 2.10.13.

2.10.6. 2.10.14.

2.10.7. 2.10.15.

2.10.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.11.1. 2.11.9.

2.11.2. 2.11.10.

2.11.3. 2.11.11.

2.11.4. 2.11.12.

2.11.5. 2.11.13.

2.11.6. 2.11. 14.

2.11.7. 2.11.15.

2.11.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.12.1. 2.12.9.

2.12.2. 2.12.10.

2.12.3. 2.12.11.

2.12.4. 2.12.12.

2.12.5. 2.12.13.

2.12.6. 2.12.14.

2.12.7. 2.12. 15.

2.12.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.13.1. 2.13. 9.

2.13.2. 2.13.10.

2.13.3. 2.13.11.

2.13.4. 2.13.12.

2.13.5. 2.13.13.

2.13.6. 2.13.14.

2.13.7. 2.13.15.

2.13.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.14.1. 2.14.9.

2.14.2. 2.14.10.

2.14.3. 2.14.11.

2.14.4. 2.14.12.

2.14.5. 2.14.13.

2.14.6. 2.14. 14.

2.14.7. 2.14.15.

2.14.8.

Вычислите следующие интегралы:

2.15.1. 2.15. 9.

2.15.2. 2.15.10.

2.15.3. 2.15.11.

2.15.4. 2.15.12.

2.15.5. 2.15.13.

2.15.6. 2.15.14.

2.15.7. 2.15.15.

2.15.8.

Задание 3. Вычислить (внесение функции под знак дифференциала).

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

Задание 4.Вычислить применением метода интегрирования по частям.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

Задание 5. Вычислить универсальной подстановкой.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

Задание 6.

Вычислить площадь плоской фигуры.

6.1Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=-0, 5, х=1 и осью абсцисс.

6.2Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью ординат.

6.3Найти площадь фигуры, заключенной между окружностью и прямыми 2у-5=0,

6.4Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом , прямой и осью ординат.

6.5Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми х=1; х=5.

6.6Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс от до .

6.7 Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , х=е и осью абсцисс.

6.8 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х=-1, х=3 и осью абсцисс.

6.9 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой х=4.

6.10 Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми у=2х, у=5х, х=2, х=6.

6.11 Найти площадь части гиперболы , отсекаемой от нее прямой х+у-4=0.

6.12 Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой 5х-у-8=0.

6.13 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой у=х.

6.14 Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и .

6.15 Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами и .

Задание 7.

Вычислить длину дуги.

7.1. y² = x³ от х=0 до х=5

7.2. y=lnsinx от х= до х=

7.3. 2у= x² -3 между точками пересечения с осью Ox

7.4. x= - t, y=t²+2 от t=1 до t=4

7.5. x=4(t-sint), y=4(1-cost) (длину дуги одной арки циклоиды)

7.6. =5sin

7.7. =sin³ от =0 до

7.8. y=lnx от х= до x=2

7.9. x= , y=2- (между точками пересечения с координатными осями)

7.10. (длину первого витка спирали Архимеда)

7.11. x= cost, y= sint от t=0 до t=ln

7.12. =1-cos

7.13. =2sin

7.14. =2sin³

7.15. x +y =9

Задание 8.

8.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной дугой кубической параболы y=x³-4x и осью абсцисс.

8.2. Определить объём тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ фигуры, которая ограничена дугой окружности х²+y²=16, лежащей в I четверти, и прямыми х=1 и х=3.

8.3. Найти объём тела, образованного вращением эллипса 4x²+9y²=36 вокруг малой оси.

8.4. Фигура, ограниченная дугой эллипса и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс и проходящими через фокусы эллипса, вращается вокруг оси ОХ. Определить объём тела вращения.

8.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной ветвью гиперболы x²-y²=1 и прямой х=3.

8.6. Найти объем тела, образованного вращением астероиды x=acos³t, y=asin³t вокруг оси ОХ.

8.7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х=a(t-sint), y=a(1-cost) и отрезком оси абсцисс.

8.8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами y=2x² и y=x³.

8.9. Фигура, образованная в результате пересечения параболы y²=4x и прямой y=x, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения.

8.10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой y²=2x и прямой 2х+2у-3=0.

8.11. Вычислить объем тела, образованного вращением общей части парабол y=x² и y²=8x: а)вокруг оси Ох; б)вокруг оси Оу.

8.12. Фигура, ограниченная кривыми y=tgx, y=ctgx и прямой x= , вращается вокруг оси OX. Найти объем тела вращения.

8.13. Найти объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX сегмента, отсекаемого прямой х+у-2=0 от круга, граничная окружность которого x²+y²=4

8.14. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной кривыми y=log₂x, y=log₄x и прямой y=1.

8.15. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная дугой окружности x²+y²=18, параболой 3y=x² и осью ординат, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

Задание 9.

Вычислить несобственный интеграл (исследовать его сходимость).

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

9.7.

9.8.

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

9.13.

9.14.

9.15.

Задание 10.

Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7. 10.8.

10.9. 10.10.

10.11. +

10.12. +

10.13. +

10.14. +

10.15. +

Задание 11.

Вычислить:

11.1. 11.2.

11.3. 11.4.

11.5. 11.6.

11.7. 11.8.

11.9. 11.10.

11.11. , D:

11.12. , D:

11.13. , D:

11.14. , D:

11.15. , D:

Задание 12.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

12.1. , , , .

12.2. , , , .

12.3. , , .

12.4. , , (), .

12.5. , .

12.6. , , .

12.7. , , , .

12.8. , .

12.9. , , .

12.10. , .

12.11. , , , .

12.12. , , , .

12.13. , , , .

12.14. , , , .

12.15. , , , .

Задание 13.

Вычислить:

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9.

13.10.

13.11. ; T: , , , .

13.12. ; T: