Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы аналогии
Решение дифференциального уравнения теплопроводности для наиболее простейшего случая одномерной задачи для пластины (9.9). На практике встречается многомерная задача теплопроводности для тел сложной формы, и получить аналитическое решение для таких сложных тел невозможно. Когда задачу нельзя решить аналитически применяют численные или графические методы и методы аналогии, которые дают приближённое решение. При аналитическом решении дифференциального уравнения теплопроводности можно определить температуру в любой точке исследуемого пространства. При численном методе вместо дифференциального уравнения используются алгебраические уравнения, по которым можно определить температуру только в отдельных узловых точках пространства. Следующие численные методы решения задач теплопроводности: 1) Метод конечных разностей (метод сеток); 2) метод конечных элементов; 3) метод прогонки; 4) метод переменных направлений; 5) метод расщепления; 6) метод суммарной аппроксимации и др. В методе (1) область непрерывного изменения аргументов (x, y, z, t) заменяется сеткой, т.е. конечным множеством точек, которые называются узлами сетки. Разности значений одних и тех же элементов для двух смежных узлов (Dx, Dy, Dz, Dt) называют шагами сетки. Важнейшее свойство разностных схем – это аппроксимируемость, устойчивость и сходимость. Аппроксимируемость схемы означает, что при стремлении к нулю шагов аргументов решение системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называют такую схему, для которой неизбежной ошибки округления при уменьшении шагов аргумента не приводит к большим искажениям решения. Сходимость означает, что при сгущении сетки решение системы алгебраических уравнений сводится к решению дифференциального уравнения. Рассмотрим МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ для решения уравнения двухмерной стационарной теплопроводности. Без вывода покажем, что дифференциальное уравнение двухмерной теплопроводности сводится к алгебраическому уравнению вида: . (10.1) Координаты точки 0 – х, у; температура в точке 0 – Т0, а температуры в узлах сетки Т1, Т2, Т3, Т4. . (10.2) Из (10.2) следует, что температура в любом узле есть среднее арифметическое температур в соседних четырёх узлах сетки. Для трёхмерного температурного поля алгебраическое уравнение имеет вид: . (10.3) . Метод аналогии: В тех случаях, когда аналитическое решение задачи теплопроводности невозможно, а численное громоздко, можно применить метод аналогии. Метод аналогии позволяет установить метод распределения температуры в исследуемом объекте по распределению другой легко измеряемой величины в модели объекта. Тогда математическое описание распределения температур и другой величины будут аналогичны. Гидродинамическая аналогия. Рассмотрим возможность моделирования процесса двухмерной стационарной теплопроводности безвихревым потоком идеальной жидкости. Для идеальной жидкости известно следующее уравнение для функции тока . (10.4) Линии, для которых , называются линиями тока жидкости. Визуальная картина линий тока показана на рисунке (10.2). Линии тока можно сделать видимыми, вводя кристаллы перманганата калия, который, перемещаясь в растворе, оставляет следы по линиям тока. Потенциал скоростей тока перпендикулярен линиям тока. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двухмерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциала скоростей идеальной жидкости, следовательно, можно экспериментально по линиям тока построить линии теплового потока и построить изотермы, так как они перпендикулярны между собой. Электрическая аналогия: При разработке электрических моделей, эмитирующих процесс теплопроводности, применительны два способа: 1) Электрические модели повторяют геометрию оригинальных тепловых систем и изготавливаются из материала с непрерывной проводимостью. Согласно электрической аналогии напряжение в любой точке электрической модели соответствует температуре в той же точке теплового объекта. 2) Изготавливают модели с сосредоточенными параметрами процесса. В них тепловая система заменяется моделирующими электрическими цепями. Термическое сопротивление заменяется электрическим сопротивлением, а теплоёмкость электрическим конденсатором (ёмкостью). Рассмотрим рисунок (10.3). Одна сторона стены теплоизолированна, с другой стороны – коэффициент теплоотдачи a. Каждый слой стены можно разбить на два слоя. Тогда внутренне термическое сопротивление может быть представлено в виде четырёх термических сопротивлений. ; ; ; . – моделируется внешним электрическим сопротивлением Ra. Последующее состояние моделируется путём приложения к зажимам контура «+», «–», и для произвольных моментов времени они будут соответствовать значениям температур в том же масштабе в сходственных точках схемы. Измерив напряжение с помощью вольтметра в любой точке схемы, можно определить значение температуры в любой точке объекта в масштабе.
11 Конвективный теплообмен
|