Поперечного сечения

Рёбра в поперечном сечении могут иметь различную геометрию (прямоугольник, круг, треугольник и т.д.). Рассмотрим распространение тепла в прямом стержне с постоянным поперечным сечением по длине.

Обозначим площадь поперечного сечения стержня через f, а периметр этого стержня через u. Стержень находится в среде с температурой . Коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде будем считать постоянным и обозначим a_р. Коэффициент теплопроводности материала стержня достаточно большой и обозначаем l. Площадь поперечного сечения очень мала по сравнению с его длиной, поэтому будем считать, что температура изменяется только вдоль оси стержня ОХ и в бесконечности температура стремится к температуре жидкости. Отсчёт температуры будем вести от температуры жидкости. Избыточная температура определяется по формуле:

. (7.1)

Если задана температура t₁, то избыточная температура основания ребра является заданной и постоянной. На расстоянии х от основания ребра выделим элемент длиной dx, тогда уравнение теплового баланса для выделенного элемента будет иметь вид:

, (7.2)

где Q_x – количество теплоты, входящие в левую грань элемента в единицу времени, Вт;

Q_x+dx – количество теплоты, отдаваемое через правую грань из элемента за тот же промежуток времени, Вт;

dQ – количество теплоты, отведённое за единицу времени наружной поверхностью элемента окружающей среде, Вт.

По закону Фурье:

;

.

Подставляя Q_x и Q_x+dx в выражение (7.2) получаем:

. (7.3)

Это же количество тепла dQ отдаётся в окружающую среду по закону теплоотдачи Ньютона-Рихмана:

. (7.4)

Приравнивая (7.3) и (7.4) и сокращая dx получаем:

, (7.5)

где , – параметр ребра. (7.6)

Из (7.6) видно, что для ребра заданного размера с постоянными a_р и l в рассмотренном интервале температур параметр ребра m не изменяется. Тогда общее решение (7.5) имеет вид:

. (7.7)

Значения постоянных интегрирования С₁ и С₂ в решении (7.7) определяются из граничных условий, которые задаются в зависимости от длины стержня.

Для стержня бесконечной длины решение (7.7) примет вид:

; (7.8)

(избыточная температура)

. (7.9)

(безразмерная температура)

Зависимость (7.9) графически имеет вид:

Из рисунка (7.2) видно, что уменьшение значения параметра ребра m приводит к сохранению больших температур, что приводит к увеличению теплового потока. Чем меньше q, тем больше будет u, следовательно, для уменьшения параметра m (7.6) необходимо для материала рёбер выбирать материалы с высоким коэффициентом теплопроводности l (медь, алюминий, чёрная сталь). При постоянном отношении эффективность ребра возрастает для профилей с меньшим значением . Количество теплоты, отданное стержнем или ребром в окружающую среду:

. (7.10)

Для стержня конечной длины решение (7.9) запишется в виде:

, (7.11)

где – длина ребра, м;

– коэффициент теплоотдачи на торце (конце ребра).

Учитывая что

; ; ;

если пренебречь, то формула (7.11) преобразуется в:

. (7.12)

Количество тепла, отданное поверхностью ребра в окружающую среду

,

. (7.13)

Учитывая, что синус гиперболический , косинус гиперболический , тангенс гиперболический .