Случайные величины и характеристики

Большинство величин, полученных в эксперименте, сколь угодно простом, являются случайными величинами.

Если величина не получена, это говорит только о недостаточной точности проведенных измерений.

По ГОСТ 15895-77: Случайная величина – это величина, которая может принимать какие либо значения из установленного множества и с которой связано вероятностное распределение.

Все случайные величины делят на дискретные и непрерывные.

Дискретная одномерная случайная величина – это величина, которая может принимать значения только из конечного или счетного множества действительных чисел.

Непрерывная одномерная случайная величина – это величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала.

Случайная величина характеризуется областью возможных значений и вероятностью приобретения конкретных значений.

Наиболее подробно принято характеризовать случайную величину при помощи функции распределения или плотности распределения.

По ГОСТ 15895-77: Функция распределения F (x) называется функция, определяющая для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х при значении не больше чем х.

, где Х – случайная величина; х – конкретная реализация значения случайной величины Х.

В литературе распределение вероятности называют так же интегральной функцией вероятности, учитывая ее накопительный характер.

Свойства функции распределения.

1⁰. неубывающая функция.

2⁰. .

3⁰. .

Практическое применение.

Если для случайной величины функция распределения известна (задана в виде графика, математического выражения или таблицы), то ее можно использовать для расчета вероятности попадания случайной величины в интересующий диапазон значений.

а) ;

б) ;

в) .

По ГОСТ 15895-77: Плотность распределения есть первая производная от функции распределения.

– касательная к F (x).

В литературе плотность распределения называют так же дифференциальной функцией распределения, функцией плотности распределения и т.д.

Плотность распределения, если она задана в виде графика, уравнения, таблицы, можно использовать для расчета вероятности попадания случайной величины в диапазон.

а) ;

б) ;

в) .

Полная площадь фигуры, находящейся под кривой плотности распределения равна 1.

Часто возникает необходимость определить такое значение случайной величины, которое не будет превышать с заданной вероятностью P.

Такое значение случайной величины называют квантилю порядка Р.

Квантиль порядка Р – это значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значения Р.

Известно большое число разнообразных теоретических распределений. Реальные случайные величины, наблюдаемые в эксперименте, обычно имеют свои, несколько или значительно отличающиеся от теоретического распределения.

Наибольшее практическое применение имеют равномерное распределение, нормальное распределение, распределение, сводящиеся к нормальному путем простых преобразований случайной величины (логарифмирование и т.д.).

- Равномерное распределение

Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке ab, если плотность ее распределения на ab , а вне ab .

- Нормальное распределение

Случайная величина называется нормально распределенной (имеет распределение Гаусса), если ее функция распределения и плотность распределения имеют вид:

; ,

где σ, µ – числовые параметры распределения.

Закон распределения теоретически получен Гауссом исходя из двух предположений:

- На случайную величину влияет очень большое число факторов.

- Влияние каждого из этих факторов примерно одинаково и невелико.

Числовые параметры σ и μ называют так же числовыми значениями случайной величины. Они целиком м полностью определяют вид функции нормального распределения.

По ГОСТ 15895-77: Параметр распределения – это постоянная, от которой зависит функция распределения.

Для нормального распределения µ называют математическим ожиданием, σ ² – дисперсией, σ – среднеквадратическим (стандартным) отклонением.

Математическим ожиданием случайной величины называют средневзвешенная по вероятностям значение случайной величины.

.

Геометрически математическое ожидание совпадает с абсциссой центра тяжести фигуры, расположенной под кривой плотности распределения.

Для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с абсциссой точки перегиба графика функции распределения.

Приближенно можно сказать, что математическое ожидание совпадает с наиболее вероятно встречающимся значением случайной величины.

Дисперсия случайной величины – центральный момент порядка два.

.

Дисперсией случайной величины называется средневзвешенный по вероятностям квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Геометрически дисперсия характеризует абсциссу точек перегиба на кривой плотности распределения нормально распределенной случайной величины.

Дисперсия служит мерой разброса, рассеянья случайной величины относительно центра распределения (математического ожидания).

Среднеквадратическое отклонение – неотрицательный квадратный корень из дисперсии.

.

Свойства математического ожидания и дисперсии.

Пусть a и b – постоянные величины, х – случайная величина.

; ;

; ;

; .

Числовые параметры σ и µ используют для нормирования свободной величины согласно выражению ,

где х – свободная величина, имеющая любое распределение; х ^Н – нормальная свободная величина.

Если операции нормирования подвергнуть нормальную случайную величину х, то получим нормированную нормально распределенную величину , подчиняющуюся распределению Лапласа, для которого функция и плотность распределения имеет вид:

; .

Нормированный нормальный закон распределения широко используется, т.к. любой нормальный закон распределения после нормирования сводится к одному и тому же виду.

Например, распределение Лапласа можно использовать для расчета вероятности попадания случайной величины в интересующий диапазон.

Вероятность того что случайная величина х попала в диапазон от –∞ до а.

а) ;

б) ;

в) .

где σ и µ – известные числовые параметры распределения случайной величины х;

и можно определить по таблицам функции распределения Лапласа.